Question

17．如圖所示，質量為m的物體，放在一固定斜面上，當斜面傾角為30°時，恰能沿斜面勻速下滑，對物體施加一大小為F的水平向右的恒力，物體可沿斜面勻速向上滑行．設最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，當斜面傾角增大并超過某一臨界角θ₀時，不論水平恒力F多大，都不能使物體沿斜面向上滑行，試求：
（1）物體與斜面間的動摩擦因數；
（2）這一臨界角θ₀的大�。�

Answer 1

分析 本題（1）的關鍵是正確對物體受力分析，采用正交分解法分別列出牛頓第二定律表達式，然后求解即可；
題（2）的關鍵是根據牛頓第二定律寫出物體勻速時的函數表達式，然后再討論即可．

解答 解：（1）物體m勻速下滑時應有：mgsin30°=μmgcos30°，解得μ=tan30°=$\frac{\sqrt{3}}{3}$；
（2）設斜面的傾角為α，對物體受力分析，由勻速運動的條件應有：
Fcosα=mgsinα+f    ①
F_N=mgcosα+Fsinα     ②
f=μF_N             ③
聯立①②③可得F=$\frac{mgsinα+μmgcosα}{cosα-μsinα}$，討論如下：
當cosα-μsinα=0時，F→∞，即無論用多大的力都不能使物體沿斜面上滑，可解得臨界角tanθ₀=tanα=$\frac{1}{μ}$=$\sqrt{3}$，解得θ₀=60°
答：（1）物體與斜面間的動摩擦因數為μ=$\frac{mgsinα+μmgcosα}{cosα-μsinα}$；
（2）臨界角θ₀=60°．

點評 涉及到有關極值的問題，應首先根據相應的物理規(guī)律寫出相應的文字表達式，然后再根據數學極值問題進行討論即可，注意數學三角函數公式的應用．