Question

某游樂(lè)場(chǎng)過(guò)山車(chē)模型簡(jiǎn)化為如圖所示，光滑的過(guò)山車(chē)軌道位于豎直平面內(nèi)，該軌道由一段斜軌道和與之相切的圓形軌道連接而成，圓形軌道的半徑為R。可視為質(zhì)點(diǎn)的過(guò)山車(chē)從斜軌道上某處由靜止開(kāi)始下滑，然后沿圓形軌道運(yùn)動(dòng)。
（1）若要求過(guò)山車(chē)能通過(guò)圓形軌道最高點(diǎn)，則過(guò)山車(chē)初始位置相對(duì)于圓形軌道底部的高度至少要多少？
（2）考慮到游客的安全，要求全過(guò)程游客受到的支持力不超過(guò)自身重力的7倍，過(guò)山車(chē)初始位置相對(duì)于圓形軌道底部的高度不得超過(guò)多少？

Answer 1

解：（1）設(shè)過(guò)山車(chē)總質(zhì)量為M，從高度h₁處開(kāi)始下滑，恰能以v₁過(guò)圓周軌道最高點(diǎn)，
在圓周軌道最高點(diǎn)有：①
運(yùn)動(dòng)過(guò)程機(jī)械能守恒：②
由①②式得：h₁=2.5R
過(guò)山車(chē)初始位置相對(duì)圓形軌道底部的高度至少要2.5R
（2）設(shè)從高度h2處開(kāi)始下滑，過(guò)圓周最低點(diǎn)時(shí)速度為v₃，
游客受到的支持力最大是F_N=7mg，
最低點(diǎn)時(shí)：，運(yùn)動(dòng)過(guò)程機(jī)械能守恒：④
由③④式得：h₂=3R
過(guò)山車(chē)初始位置相對(duì)圓形軌道底部的高度不得超過(guò)3R。