Question

（2004?江蘇）一個質(zhì)量為M的雪橇靜止在水平雪地上，一條質(zhì)量為m的愛斯基摩狗站在該雪橇  上．狗向雪橇的正后方跳下，隨后又追趕并向前跳上雪橇；其后狗又反復(fù)地跳下、追趕并跳上雪橇．狗與雪橇始終沿一條直線運動．若狗跳離雪橇?xí)r雪橇的速度為V，則此時狗相對于地面的速度為V+u（其中u為狗相對于雪橇的速度，V+u為代數(shù)和，若以雪橇運動的方向為正方向，則V為正值，u為負(fù)值）．設(shè)狗總以速度v追趕和跳上雪橇，雪橇與雪地間的摩擦忽略不計．已知v的大小為5m/s，u的大小為4m/s，M=30kg，m=10kg．
（1）求狗第一次跳上雪橇后兩者的共同速度的大�。�
（2）求雪橇最終速度的大小和狗最多能跳上雪橇的次數(shù)．（供使用但不一定用到的對數(shù)值：lg 2=0.301，lg 3=0.477）

Answer 1

分析：（1）要求狗第一次跳上雪橇后的速度需要知道狗第一次跳下雪橇?xí)r的速度，在狗第一次跳下之前系統(tǒng)速度為零，在跳下和跳上的過程中系統(tǒng)在水平向動量守恒．
（2）該問難度較大．要求狗最多能跳上的次數(shù)，需要知道每次狗跳下時雪橇的速度，故需要知道狗未跳下前狗和雪橇共同的速度，而要求狗未跳下前的速度，需知道狗跳上雪橇前雪橇的速度，即上一次狗跳下后雪橇的速度，所以可以分別求出第一次狗跳下后雪橇的速度，第一次狗跳上后的速度，再求出第二次狗跳下后雪橇的速度，第二次狗跳上后的速度，…，得出通項，從而解出答案．

解答：解：（1）設(shè)雪橇運動的方向為正方向．狗第1次跳下雪橇后雪橇相對地面的速度為V₁，則此時狗相對于地面的速度為（V+μ），
由于雪橇和地面之間的摩擦忽略不計，故狗和雪橇組成的系統(tǒng)水平向動量守恒，
根據(jù)動量守恒定律，有MV₁+m（V₁+u）=0…①
設(shè)狗第1次跳上雪橇?xí)r，雪橇與狗的共同速度為V₁’
由于此時狗和雪橇組成的系統(tǒng)水平向動量仍然守恒，則有  MV₁+mv=（M+m）V₁’…②
聯(lián)立①②兩式可得   

V

′ 1

=

-Mmu+(M+m)mv

(M+m)2

…③
將u=-4 m/s，v=5 m/s，M=30 kg，m=10 kg代入③式可得V₁’=2 m/s
（2）解法（一）
設(shè)雪橇運動的方向為正方向．狗第（n-1）次跳下雪橇后雪橇的速度為v_n-1，則狗第（n-1）次跳上雪橇后的速度V_n-1’，
滿足M V_n-1+mv=（M+m） V_n-1’…④
這樣，狗n次跳下雪橇后，雪橇的速度為V_n滿足
M V_n+m（V_n+u）=（M+m） V_n-1’…⑤
解得  Vn=(v-u)[1-(

M

M+m

)n-1]-

mu

M+m

(

M

M+m

)n-1
狗追不上雪橇的條件是    v_n≥v
可化為   (

M

M+m

)n-1≤

(M+m)u

Mu-(M+m)v

最后可求得 n≥1+

lg( Mu-(M+m)v (M+m)u )

lg( M+m M )

代入數(shù)據(jù)，得n≥3.41
故狗最多能跳上雪橇3次，雪橇最終的速度大小為 v₄=5.625 m/s
解法（二）：
設(shè)雪橇運動的方向為正方向．狗第i次跳下雪橇后，雪橇的速度為V_i′狗的速度為V_i+u；狗第i次跳上雪橇后，雪橇和狗的共同速度為V_i′，由動量守恒定律可得
第一次跳下雪橇：MV₁+m（V₁+u）=0…④
V1=-

mu

M+m

=1m/s
第一次跳上雪橇：MV₁+mv=（M+m）V₁’…⑤
 

V

′ 1

=

-Mmu+(M+m)mv

(M+m)2

第二次跳下雪橇：（M+m）V₁’=MV₂+m（V₂+u）…⑥
V2=

(M+m) V ′ 1 -mu

M+m

=3m/s
第二次跳上雪橇：MV₂+mv=（M+m）V₂’…⑦

V

′ 2

=

MV2+mv

M+m

第三次跳下雪橇：（M+m）V₂’=MV₃+m（V₃+u）…⑧
V3=

(M+m) V ′ 2 -mu

M+m

=4.5m/s
第三次跳上雪橇：（M+m）V₃=MV₃’+m（V₃’+u）…⑨

V

′ 3

=

(M+m)V3-mu

M+m

第四次跳下雪橇：（M+m）V₃’=MV₄+m（V₄+u）…⑩
V4=

(M+m) V ′ 3 -mu

M+m

=5.625m/s
此時雪橇的速度已大于狗追趕的速度，狗將不可能追上雪橇．
因此，狗最多能跳上雪橇3次．雪橇最終的速度大小為5.625m/s．

點評：本題第二問難度較大，但有一個規(guī)律，即狗跳下后雪橇的速度是狗跳上雪橇前雪橇的速度，而狗第二次跳下的初速度是第一次跳上后的末速度，…，第n次跳上前的速度應(yīng)是第n-1次跳上后的末速度．