Question

如圖所示，A為位于一定高度處的質量為m的小球，初速為零。B為位于水平地面上的質量為M的用特殊材料制成的長方形空心盒子，且M=2m，盒子與地面間的動摩擦因數=0.2，設當小球進入盒內后即發(fā)生豎直方向的相互作用，相互作用力的大小為2mg，小球受到的盒子的作用力方向豎直向上，盒子受到的小球的作用力方向豎直向下，小球在盒外時沒用相互作用。盒子的上表面開有一系列略大于小球的小孔，孔間距滿足一定的關系，使得小球進出盒子的過程中始終不與盒子接觸．當小球A以v=1m/s的速度從孔1進入盒子的瞬間，盒子B恰以v₁=6 m/s的初速度向右滑行．設盒子足夠長，取重力加速度g=10m/s²，小球恰能依次從各個小孔進出盒子，且不與盒子底部相碰。試求：

(1）小球A從第一次進入盒子到第二次進入盒子所經歷的時間；

(2）盒子上至少要開多少個小孔，才能保證小球始終不與盒子接觸；

(3) 從小球第一次進入盒子至盒子停止運動的過程中，盒子通過的總路程．

Answer 1

  （1）A在盒子內運動時，         　　a＝g                           

A在盒子內運動的時間    A在盒子外運動的時間     

A從第一次進入盒子到第二次進入盒子的時間                  （2分）

（2）小球在盒子內運動時，盒子的加速度              （1分）

小球在盒子外運動時，盒子的加速度                      （1分）

小球運動一個周期盒子減少的速度為       （2分）

從小球第一次進入盒子到盒子停下，小球運動的周期數為       

故要保證小球始終不與盒子相碰，盒子上的小孔數至少為2n+1個，即11個．   （2分）

（3）小球第一次在盒內運動的過程中，盒子前進的距離為

                                                 

小球第一次從盒子出來時，盒子的速度                 

小球第一次在盒外運動的過程中，盒子前進的距離為     

小球第二次進入盒子時，盒子的速度                        

小球第二次在盒子內運動的過程中，盒子前進的距離為    

小球第二次從盒子出來時，盒子的速度                     

小球第二次在盒外運動的過程中，盒子前進的距離為     

分析上述各組數據可知，盒子在每個周期內通過的距離為一等差數列，    （6分）[

公差d＝0.12m．且當盒子停下時，小球恰要進入盒內，最后0.2s內盒子通過的路程為0.04m．

所以從小球第一次進入盒子至盒子停止運動的過程中，盒子通過的總路程為

                                    （2分）