Question

如圖所示，AB為固定在豎直平面內(nèi)粗糙傾斜軌道，BC為光滑水平軌道，CD為固定在豎直平面內(nèi)的光滑圓弧軌道，且AB與BC通過一小段光滑弧形軌道相連，BC與弧CD相切．已知AB長(zhǎng)為L(zhǎng)=10m，傾角θ=37°，BC長(zhǎng)s=

35

9

m，CD弧的半徑為R=

25

12

m，O為其圓心，∠COD=143°．整個(gè)裝置處在水平向左的勻強(qiáng)電場(chǎng)中，電場(chǎng)強(qiáng)度大小為E=1×10³N/C．一質(zhì)量為m=0.4kg、電荷量為q=+3×10 ^-3C的物體從A點(diǎn)以初速度v_A=15m/s沿AB軌道開始運(yùn)動(dòng)．若物體與軌道AB間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ=0.2，sin37°=0.6，cos37°=0.8，g=10m/s²，物體運(yùn)動(dòng)過程中電荷量不變．求
（1）物體在AB軌道上運(yùn)動(dòng)時(shí)，重力和電場(chǎng)力對(duì)物體所做的總功；
（2）物體能否到達(dá)D點(diǎn)；
（3）物體離開CD軌道后運(yùn)動(dòng)的最高點(diǎn)相對(duì)于O點(diǎn)的水平距離x和豎直距離y．

Answer 1

分析：（1）勻強(qiáng)電場(chǎng)方向水平向左，物體所受的電場(chǎng)力水平向左，與重力和合力大小為F=

(mg)2+(qE)2

，求出合力與豎直方向的夾角α，tanα=

qE

F

，再求解重力和電場(chǎng)力對(duì)物體所做的總功；
（2）設(shè)物體能到D點(diǎn)，對(duì)物體由A到D的過程，由動(dòng)能定理求出物體到達(dá)D點(diǎn)的速度，與臨界速度

gR

比較，分析能否到達(dá)D點(diǎn)；
（3）物體剛要離開軌道時(shí)軌道對(duì)物體的彈力為零，由牛頓第二定律根據(jù)動(dòng)能定理研究A到D的過程，求出物體經(jīng)過D點(diǎn)的速度．物體離開軌道時(shí)做斜上拋運(yùn)動(dòng)，水平方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，豎直方向做豎直上拋運(yùn)動(dòng)，由位移公式求出最高點(diǎn)相對(duì)于O點(diǎn)的水平距離x和豎直距離y．

解答：解：（1）物體所受重力和電場(chǎng)力的合力大小為
  F=

(mg)2+(qE)2

=5N，
設(shè)合力與豎直方向的夾角為α，則tanα=

qE

F

=

3

5

，
解得，α=37°，
由幾何知識(shí)得知，重力和電場(chǎng)力的合力與斜面AB垂直，所以物體在軌道AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)重力和電場(chǎng)力對(duì)物體做的總功為W=0．
（2）D點(diǎn)為CD軌道上的等效最高點(diǎn)，設(shè)物體能到D點(diǎn)，其速度為v_D
對(duì)物體由A到D的過程，由動(dòng)能定理得
-μFL-qE（s+Rsinα）-mg（R+Rcosα）=

1

2

m

v

2 D

-

1

2

m

v

2 A

設(shè)物體剛能到D點(diǎn)時(shí)速度為v₀
由牛頓第二定律得
   F=m

v 2 0

R

解得v₀＞v_D
因此物體不能到達(dá)D點(diǎn)．
（3）物體剛要離開軌道時(shí)軌道對(duì)物體的彈力為零，設(shè)此時(shí)物體位置與O點(diǎn)連線與豎直方向的夾角為β，物體的速度為v
由牛頓第二定律得
   mgcosβ+qEsinβ=m

v2

R

-μFL-qE（s+Rsinβ）-mg（R+Rcosβ）=

1

2

mv2-

1

2

m

v

2 A

解得，v=5m/s，sinβ=0.8
物體離開軌道時(shí)做斜上拋運(yùn)動(dòng)，水平方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，豎直方向做豎直上拋運(yùn)動(dòng)，設(shè)物體到達(dá)最高點(diǎn)的時(shí)間為t，
則有
  vsinβ=gt，得t=0.4s
物體運(yùn)動(dòng)的最高點(diǎn)相對(duì)于O點(diǎn)的水平距離x=vcosβt+

1

2

qE

m

t2-Rsinβ=

2

15

m
和豎直距離y=

1

2

vsinβt+Rcosβ=2.05m
答：
（1）物體在AB軌道上運(yùn)動(dòng)時(shí)，重力和電場(chǎng)力對(duì)物體所做的總功是0；
（2）物體不能到達(dá)D點(diǎn)；
（3）物體離開CD軌道后運(yùn)動(dòng)的最高點(diǎn)相對(duì)于O點(diǎn)的水平距離x是

2

15

m，豎直距離y是2.05m．

點(diǎn)評(píng)：本題運(yùn)用牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式結(jié)合研究帶電體在電場(chǎng)力和重力場(chǎng)的復(fù)合場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)問題，難點(diǎn)是確定物體離開軌道的位置，抓住此時(shí)軌道的彈力為零，由牛頓第二定律研究．