Question

某星球表面，宇航員做了如下實(shí)驗(yàn)，如圖甲所示，一豎直平面內(nèi)的軌道由粗糙斜面AD和光滑圓軌道DCE組成，AD與DCE相切于D點(diǎn)，C為圓軌道的最低點(diǎn)，將一小物塊置于軌道ADC上離地面高為H處由靜止下滑，用力傳感器測(cè)出其經(jīng)過(guò)C點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力F_N，改變H的大小，可測(cè)出相應(yīng)的F_N的大小，F(xiàn)_N隨H的變化關(guān)系如圖乙折
線PQI所示（PQ與QI兩直線相連接于Q點(diǎn)），QI反向延長(zhǎng)交縱軸于F點(diǎn)（0，11N），求：

（1）軌道的半徑；
（2）物塊與斜面AD間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ．
（3）若已知小物塊的質(zhì)量為2.5Kg，星球半徑4000km則在該星球上發(fā)射一顆人造衛(wèi)星的最小速度．

Answer 1

分析：（1）通過(guò)圖象得出D點(diǎn)的高度為0.1m，結(jié)合H=0m和H=0.1m時(shí)的壓力，根據(jù)牛頓第二定律和動(dòng)能定理求出軌道半徑的大�。�
（2）根據(jù)幾何關(guān)系求出斜面傾角的正切值和余弦值，通過(guò)動(dòng)能定理和牛頓第二定律求出壓力與H的關(guān)系式，通過(guò)圖線截距求出動(dòng)摩擦因數(shù)的大�。�
（3）根據(jù)物塊的重力求出重力加速度的大小，根據(jù)重力提供向心力求出人造衛(wèi)星的最小發(fā)射速度．

解答：解：（1）根據(jù)圖象可以確定：當(dāng)H₁=0時(shí)，N₁=10N；
 當(dāng)H₂=0.1m  N₂=12N
在c點(diǎn)：N₁=mg   
解得mg=10N
N₂-mg=m

vC2

R

 
從D到C，根據(jù)動(dòng)能定理得：mgH₂=

1

2

mvC2  
 聯(lián)立解得R=1m  
（2）根據(jù)圖象：D點(diǎn)比C點(diǎn)高H₂=0.1m，所以：
cosθ=

9

10

   tanθ=

19

9

設(shè)物體從AD間的某一點(diǎn)下滑，則：
mgH-μmgADcosθ=

1

2

mvC2
N-mg=m

vC2

R

    
AD=

H-H2

sinθ

整理得：
N=

2mg(tanθ-μ)

Rtanθ

H+mg(1+

2μH2

tanθ

) 
根據(jù)圖象得：
mg(1+

2μH2

tanθ

)=11      
解得   μ=

19

18

   
（3）因?yàn)閙=2.5kg
則重力加速度g=

10

2.5

=4m/s2．
根據(jù)mg=m

v2

R

得，v=

gR

=4×103m/s．
答：（1）軌道的半徑為1m．（2）物塊與斜面AD間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=

19

18

．（3）人造衛(wèi)星最小的發(fā)射速度為4×10³m/s．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了牛頓第二定律、動(dòng)能定理與圖象的綜合，對(duì)于圖象問(wèn)題關(guān)鍵得出兩個(gè)物理量的關(guān)系式，結(jié)合圖線的斜率或截距進(jìn)行求解．