Question

如圖所示，相距2L的AB、CD兩直線間的區(qū)域存在著兩個(gè)大小不同、方向相反的有界勻強(qiáng)電場(chǎng)，其中PT上方的電場(chǎng)E₁的場(chǎng)強(qiáng)方向豎直向下，PT下方的電場(chǎng)E₀的場(chǎng)強(qiáng)方向豎直向上，在電場(chǎng)左邊界AB上寬為L(zhǎng)的PQ區(qū)域內(nèi)，連續(xù)分布著電荷量為＋q、質(zhì)量為m的粒子。從某時(shí)刻起由Q到P點(diǎn)間的帶電粒子，依次以相同的初速度v₀沿水平方向垂直射入勻強(qiáng)電場(chǎng)E₀中，若從Q點(diǎn)射入的粒子，通過(guò)PT上的某點(diǎn)R進(jìn)入勻強(qiáng)電場(chǎng)E₁后從CD邊上的M點(diǎn)水平射出，其軌跡如圖，若MT兩點(diǎn)的距離為L(zhǎng)/2，不計(jì)粒子的重力及它們間的相互作用。試求：

（1）電場(chǎng)強(qiáng)度E₀與E₁；

（2）在PQ間還有許多水平射入電場(chǎng)的粒子通過(guò)電場(chǎng)后也能垂直CD邊水平射出，這些入射點(diǎn)到P點(diǎn)的距離有什么規(guī)律？

（3）有一邊長(zhǎng)為a、由光滑絕緣壁圍成的正方形容器，在其邊界正中央開(kāi)有一小孔S，將其置于CD右側(cè)，若從Q點(diǎn)射入的粒子經(jīng)AB、CD間的電場(chǎng)從S孔水平射入容器中，欲使粒子在容器中與器壁多次垂直碰撞后仍能從S孔射出(粒子與絕緣壁碰撞時(shí)無(wú)能量和電荷量損失)，并返回Q點(diǎn)，在容器中現(xiàn)加上一個(gè)如圖所示的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，粒子運(yùn)動(dòng)的半徑小于a，磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小還應(yīng)滿足什么條件？

Answer 1

解：本題考查力、運(yùn)動(dòng)、電場(chǎng)、磁場(chǎng)等知識(shí)的綜合運(yùn)用能力。考查邏輯推理能力、綜合分析能力、運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決物理問(wèn)題能力和探究能力。

（1）設(shè)粒子經(jīng)PT直線上的點(diǎn)R由E₀電場(chǎng)進(jìn)入E₁電場(chǎng)，由Q到R及R到M點(diǎn)的時(shí)間分別為t₁與t₂，到達(dá)R時(shí)豎直速度為v_y，則：

由s=、v=at及F=qE=ma得：

L=①

 ②

v_y=③

v₀(t₁+t₂)=2L④

上述各式聯(lián)立解得：E₁=2E₀,E₀=

即E₁=。

(2)由E₁＝2E₀及③式可得t₁＝2t₂。

因沿PT方向粒子做勻速運(yùn)動(dòng)，故P、R兩點(diǎn)間的距離是R、T兩點(diǎn)間距離的兩倍。即粒子在E₀電場(chǎng)做類平拋運(yùn)動(dòng)，在PT方向的位移是在E₁電場(chǎng)中的兩倍。

設(shè)PQ間到P點(diǎn)距離為Δy的F處射入的粒子通過(guò)電場(chǎng)后也沿水平方向，若粒子第一次到達(dá)PT直線用時(shí)Δt，水平位移為Δx，則

Δx=v₀Δt

Δy=(Δt)²

粒子在電場(chǎng)E₁中可能做類平拋運(yùn)動(dòng)后垂直CD邊射出電場(chǎng)，也可能做類斜拋運(yùn)動(dòng)后返回E₀電場(chǎng)，在E₀電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)垂直CD水平射出，或在E₀電場(chǎng)中做類斜拋運(yùn)動(dòng)再返回E₁電場(chǎng)。

若粒子從E₁電場(chǎng)垂直CD射出電場(chǎng)，則

(3n+1)Δx+=2L  （n＝0,1,2,3，…）

解之得：Δy=（n＝0,1,2,3,…）

若粒子從E₀電場(chǎng)垂直CD射出電場(chǎng)，則

3kΔx=2L（k＝1,2,3,…）

Δy=  （k＝1,2,3,…）

即PF間的距離為與,其中n＝0,1,2,3,…，k＝1,2,3,…

（3）欲使粒子仍能從S孔處射出，粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡可能是如圖甲、乙所示的兩種情況。

           

甲                                乙

對(duì)圖甲所示的情形，粒子運(yùn)動(dòng)的半徑為R₁，則

R₁=，n=0,1,2,…

又qv₀B₁=

解得：B₁=，n=0，1，2，3，…

對(duì)圖乙所示的情形，粒子運(yùn)動(dòng)的半徑為R₂，則R₂=，k=1，2，3，…

又qv₀B₂=

B₂=,k=1，2，3，…