Question

（2008?天津）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，第I象限存在沿y軸負(fù)方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)，第IV象限存在垂直于坐標(biāo)平面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B．一質(zhì)量為m，電荷量為q的帶正電的粒子從y軸正半軸上的M點(diǎn)以速度v₀垂直于y軸射入電場(chǎng)，經(jīng)x軸上的N點(diǎn)與x軸正方向成60°角射入磁場(chǎng)，最后從y軸負(fù)半軸上的P點(diǎn)垂直于y軸射出磁場(chǎng)，如圖所示．不計(jì)粒子重力，求
（1）M、N兩點(diǎn)間的電勢(shì)差U_MN； 
（2）粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌道半徑r；
（3）粒子從M點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到P點(diǎn)的總時(shí)間t．

Answer 1

分析：（1）粒子垂直于電場(chǎng)進(jìn)入第一象限，粒子做類平拋運(yùn)動(dòng)，由到達(dá)N的速度方向可利用速度的合成與分解得知此時(shí)的速度，在應(yīng)用動(dòng)能定理即可求得電場(chǎng)中MN兩點(diǎn)間的電勢(shì)差．
（2）粒子以此速度進(jìn)入第四象限，在洛倫茲力的作用下做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，先畫出軌跡圖，找出半徑；利用洛倫茲力提供向心力的公式，可求出在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的半徑．
（3）粒子的運(yùn)動(dòng)分為兩部分，一是在第一象限內(nèi)做類平拋運(yùn)動(dòng)，二是在第四象限內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，分段求出時(shí)間，相加可得總時(shí)間．

解答：解：
（1）粒子在第一象限內(nèi)做類平拋運(yùn)動(dòng)，進(jìn)入第四象限做勻速圓周運(yùn)動(dòng)．設(shè)粒子過(guò)N點(diǎn)的速度為v，有

v0

v

=cosθ
得：v=2v₀
粒子從M點(diǎn)到N點(diǎn)的過(guò)程，由動(dòng)能定理有：
qUMN=

1

2

mv2-

1

2

m

v

2 0

解得：UMN=

3m v 2 0

2q

（2）粒子在磁場(chǎng)中以O(shè)′為圓心做勻速圓周運(yùn)動(dòng)（如圖所示），半徑為O′N，有：
qvB=

mv2

r

解得：r=

2mv0

qB

（3）由幾何關(guān)系得：
ON=rsinθ
設(shè)粒子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t₁，則有：
ON=v₀t₁
t1=

3 m

qB

粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期為：
T=

2πm

qB

設(shè)粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t₂，有：
t2=

π-θ

2π

T
得：t2=

2πm

3qB

運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間為：
t=t₁+t₂
即：t=

(3 3 +2π)m

3qB

答：（1）M、N兩點(diǎn)間的電勢(shì)差UMN為

3m v 2 0

2q

；
（2）粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為

2mv0

qB

；
（3）粒子從M點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到P點(diǎn)的總時(shí)間為

(3 3 +2π)m

3qB

．

點(diǎn)評(píng)：該題考查了電場(chǎng)和磁場(chǎng)邊界問(wèn)題，不同場(chǎng)的分界面上，既是一種運(yùn)動(dòng)的結(jié)束，又是另一種運(yùn)動(dòng)的開始，尋找相關(guān)物理量尤其重要．
粒子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)偏轉(zhuǎn)時(shí)，常用能量的觀點(diǎn)來(lái)解決問(wèn)題，有時(shí)也要運(yùn)用運(yùn)動(dòng)的合成與分解．
點(diǎn)粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的圓心、半徑及運(yùn)動(dòng)時(shí)間的確定也是本題的一個(gè)考查重點(diǎn)
圓心的確定：因洛倫茲力提供向心力，洛倫茲力總垂直于速度，畫出帶電粒子運(yùn)動(dòng)軌跡中任意兩點(diǎn)（一般是射入磁場(chǎng)和射出磁場(chǎng)的兩點(diǎn)）洛倫茲力的方向，其延長(zhǎng)的交點(diǎn)即為圓心．或射入磁場(chǎng)和射出磁場(chǎng)的兩點(diǎn)間弦的垂直平分線與一半徑的交點(diǎn)即為圓心．
半徑的確定：半徑一般都在確定圓心的基礎(chǔ)上用平面幾何知識(shí)求解，常常是解直角三角形．
運(yùn)動(dòng)時(shí)間的確定：利用圓心與弦切角的關(guān)系計(jì)算出粒子所轉(zhuǎn)過(guò)的圓心角θ的大小，用公式t=

θ

360

T可求出運(yùn)動(dòng)時(shí)間．
再者就是要正確畫出粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡圖，能熟練的運(yùn)用幾何知識(shí)解決物理問(wèn)題．