Question

13．如圖，空間有一豎直向下沿x軸方向的靜電場(chǎng)，電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)大小按E=kx分布（x是軸上某點(diǎn)到O點(diǎn)的距離），k=$\frac{mg}{3qL}$．x軸上，有一長(zhǎng)為L(zhǎng)的絕緣細(xì)線連接A、B兩個(gè)小球，兩球質(zhì)量均為m，B球帶負(fù)電，帶電量為 q，A球距O點(diǎn)的距離為L(zhǎng)．兩球現(xiàn)處于靜止?fàn)顟B(tài)，不計(jì)兩球之間的靜電力作用．
（1）求A球的帶電量q_A；
（2）將A、B間細(xì)線剪斷，描述B球的運(yùn)動(dòng)情況，并分析說(shuō)明理由；
（3）剪斷細(xì)線后，求B球的最大速度v_m．

Answer 1

分析 （1）選取AB組成的整體為研究的對(duì)象，寫出平衡方程，即可求得A的電量；
（2）剪斷細(xì)線后，B球的先向下做加速運(yùn)動(dòng)，隨受到的電場(chǎng)力的增大，加速度減小，所以B球做加速度減小的加速運(yùn)動(dòng)；當(dāng)電場(chǎng)力大于重力之后，小球B做減速運(yùn)動(dòng)，直至返回．根據(jù)它受力和運(yùn)動(dòng)即可判斷
（3）根據(jù)電場(chǎng)強(qiáng)度大小按E=kx分布，畫出A球所受電場(chǎng)力F與x的圖象；當(dāng)A球受到的重力與電場(chǎng)力相等時(shí)，受到最大；根據(jù)動(dòng)能定理即可求得A球運(yùn)動(dòng)的最大速度；

解答 解：（1）A、B兩球靜止時(shí)，A球所處位置場(chǎng)強(qiáng)為${E}_{1}=kL=\frac{mg}{3q}$
B球所處位置場(chǎng)強(qiáng)為${E}_{2}=k•2L=\frac{2mg}{3q}$     
對(duì)A、B由整體法得：2mg+q_AE₁-qE₂=0
解得：q_A=-4q                    
（2）剪斷細(xì)線后，B球初始受到合力F=mg-$\frac{2}{3}$mg=$\frac{1}{3}$mg，方向豎直向下，B球開(kāi)始向下運(yùn)動(dòng)；
運(yùn)動(dòng)后，B球受力為F_合=mg-kxq，隨x增大，F(xiàn)_合減小，所以B球做加速度減小的加速運(yùn)動(dòng)；
當(dāng)F_合減小為零時(shí)，B球速度達(dá)到最大，繼續(xù)向下運(yùn)動(dòng)，F(xiàn)_合方向向上，并逐漸增大，B球做加速度增大的減速運(yùn)動(dòng)．
當(dāng)速度減小為零后，此時(shí)電場(chǎng)力大于重力，B球反向運(yùn)動(dòng)，最終B球做往復(fù)運(yùn)動(dòng)．
（3）當(dāng)B球下落速度達(dá)到最大時(shí)，B球距O點(diǎn)距離為x₀
$mg=qEq\frac{mg}{3qL}{x}_{0}$      解得：x₀=3L
當(dāng)B球下落速度達(dá)到最大時(shí)，B球距O點(diǎn)距離為3L
運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，電場(chǎng)力大小線性變化，所以由動(dòng)能定理得：
$，gL-\overline{E}qL=\frac{1}{2}{mv}_{m}^{2}-\frac{1}{2}{mv}_{0}^{2}$
$\overline{E}q=\frac{\frac{2}{3}mg+mg}{2}=\frac{5}{6}mg$
解得：v_m=$\sqrt{\frac{gL}{3}}$                       
答：（1）求A球的帶電量q_A為-4q
（2）B球做往復(fù)運(yùn)動(dòng)
（3）剪斷細(xì)線后，求B球的最大速度v_m為$\sqrt{\frac{gL}{3}}$

點(diǎn)評(píng) 該題中，兩個(gè)小球受到的力是變力，要根據(jù)它們受力變化的規(guī)律，正確分析得出它們運(yùn)動(dòng)的規(guī)律，然后才能做出正確的結(jié)論．題目的難度比較大．