Question

14．如圖所示，傾角為45°的粗糙斜面AB底端與半徑R=0.4m的光滑半圓軌道BC平滑相接，O為軌道圓心，BC為圓軌道直徑且處于豎直平面內(nèi)，A、C兩點(diǎn)等高．質(zhì)量m=1kg的滑塊（可視為質(zhì)點(diǎn)）從A點(diǎn)由靜止開(kāi)始下滑，恰能滑到與O等高的D點(diǎn)，g取10m/s²．
（1）若使滑塊能到達(dá)C點(diǎn)，求滑塊至少?gòu)碾x地多高處由靜止開(kāi)始下滑；
（2）若滑塊離開(kāi)C處后恰能垂直打在斜面上，求滑塊經(jīng)過(guò)C點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力；
（3）若使滑塊在圓弧在BDC段不脫離軌道，則A下滑的高度應(yīng)該滿足什么條件．

Answer 1

分析 （1）從A到D的過(guò)程中根據(jù)動(dòng)能定理求得摩擦因數(shù)，物體能到達(dá)C點(diǎn)，根據(jù)牛頓第二定律求得C點(diǎn)的速度，根據(jù)動(dòng)能定理求得高度
（2）小球從C點(diǎn)做平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)，求得C點(diǎn)的速度，根據(jù)牛頓第二定律求得對(duì)軌道的壓力；
（3）物體不脫離軌道，即在軌道上能通過(guò)最高點(diǎn)和剛好到達(dá)D點(diǎn)即可

解答 解：（1）由A到D，根據(jù)動(dòng)能定理可得    
mg（2R-R）-μmgcos45°$\frac{2R}{{sin{{45}°}}}$=0 
解得μ=0.5
若滑塊恰能到達(dá)C點(diǎn)，$mg=\frac{{mv}_{C}^{2}}{R}$
得${v}_{C}=\sqrt{gR}=2m/s$
從高為H的最高點(diǎn)到C的過(guò)程，
根據(jù)動(dòng)能定理 mg（H-2R）-μmgcos45°$\frac{H}{{sin{{45}°}}}$=$\frac{1}{2}mv_c^2$
解得H=2m  

（2）離開(kāi)C點(diǎn)后滑塊做平拋運(yùn)動(dòng)，垂直打到斜面上時(shí)有
x=v_Ct
 $y=\frac{1}{2}g{t}^{2}=\frac{{v}_{y}}{2}t$
$tan45°=\frac{{v}_{C}}{{v}_{y}}$
  $tan45°=\frac{2R-y}{x}$
解得 ${v}_{c}=\frac{4\sqrt{3}}{3}m/s$
在C點(diǎn)，根據(jù)牛頓第二定律有  $mg+{F}_{N}=\frac{{mv}_{C}^{2}}{R}$
求得：F_N=3.3N
由牛頓第三定律可知，滑塊對(duì)軌道的壓力為F′_N=F_N=3.3N
方向豎直向上
（3）由題意可知，滑塊從A處，即距地面高度為2R=0.8m處下滑恰好到達(dá)D點(diǎn)，所以，若使滑塊在圓弧在BDC段不脫離軌道，則A下滑的高度h≥2m或h≤0.8m
答：（1）若使滑塊能到達(dá)C點(diǎn)，滑塊至少?gòu)碾x地2m高處由靜止開(kāi)始下滑；
（2）若滑塊離開(kāi)C處后恰能垂直打在斜面上，滑塊經(jīng)過(guò)C點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力為3.3N；
（3）若使滑塊在圓弧在BDC段不脫離軌道，則A下滑的高度應(yīng)該滿足h≥2m或h≤0.8m

點(diǎn)評(píng) 本題是動(dòng)能定理與向心力、平拋運(yùn)動(dòng)及幾何知識(shí)的綜合，關(guān)鍵要注意挖掘隱含的臨界條件，知道小球通過(guò)豎直平面圓軌道最高點(diǎn)時(shí)，重力恰好提供向心力，對(duì)于平拋運(yùn)動(dòng)，要結(jié)合幾何知識(shí)進(jìn)行求解