4．已知橢圓E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的兩個(gè)焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)是直角三角形的3個(gè)頂點(diǎn)，直線l：y=-x+3與橢圓E有且只有一個(gè)公共點(diǎn)T．
（Ⅰ）求橢圓E的方程及點(diǎn)T的坐標(biāo)；
（Ⅱ）設(shè)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，直線l′平行于OT，與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)A、B，且與直線l交于點(diǎn)P．證明：存在常數(shù)λ，使得|PT|²=λ|PA|•|PB|，并求λ的值．

3．已知數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)為1，S_n為數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，S_n+1=qS_n+1，其中q＞0，n∈N^*．
（Ⅰ）若2a₂，a₃，a₂+2成等差數(shù)列，求a_n的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)雙曲線x²-$\frac{{y}^{2}}{{a}_{n}^{2}}$=1的離心率為e_n，且e₂=$\frac{5}{3}$，證明：e₁+e₂+???+e_n＞$\frac{{4}^{n}-{3}^{n}}{{3}^{n-1}}$．

2．如圖，在四棱錐P-ABCD中，AD∥BC，∠ADC=∠PAB=90°，BC=CD=$\frac{1}{2}$AD．E為棱AD的中點(diǎn)，異面直線PA與CD所成的角為90°．
（Ⅰ）在平面PAB內(nèi)找一點(diǎn)M，使得直線CM∥平面PBE，并說明理由；
（Ⅱ）若二面角P-CD-A的大小為45°，求直線PA與平面PCE所成角的正弦值．

1．設(shè)函數(shù)f（x）=ax²-a-lnx，g（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{e}{{e}^{x}}$，其中a∈R，e=2.718…為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．
（Ⅰ）討論f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）證明：當(dāng)x＞1時(shí)，g（x）＞0；
（Ⅲ）確定a的所有可能取值，使得f（x）＞g（x）在區(qū)間（1，+∞）內(nèi)恒成立．

20．平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率是$\frac{\sqrt{3}}{2}$，拋物線E：x²=2y的焦點(diǎn)F是C的一個(gè)頂點(diǎn)．
（I）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)P是E上的動(dòng)點(diǎn)，且位于第一象限，E在點(diǎn)P處的切線l與C交于不同的兩點(diǎn)A，B，線段AB的中點(diǎn)為D，直線OD與過P且垂直于x軸的直線交于點(diǎn)M．
（i）求證：點(diǎn)M在定直線上；
（ii）直線l與y軸交于點(diǎn)G，記△PFG的面積為S₁，△PDM的面積為S₂，求$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$的最大值及取得最大值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．

19．已知f（x）=a（x-lnx）+$\frac{2x-1}{{x}^{2}}$，a∈R．
（I）討論f（x）的單調(diào)性；
（II）當(dāng)a=1時(shí)，證明f（x）＞f′（x）+$\frac{3}{2}$對(duì)于任意的x∈[1，2]成立．

18．設(shè)函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx+c．
（1）求曲線y=f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處的切線方程；
（2）設(shè)a=b=4，若函數(shù)f（x）有三個(gè)不同零點(diǎn)，求c的取值范圍；
（3）求證：a²-3b＞0是f（x）有三個(gè)不同零點(diǎn)的必要而不充分條件．

17．已知{a_n}是等差數(shù)列，{b_n}是等比數(shù)列，且b₂=3，b₃=9，a₁=b₁，a₁₄=b₄．
（1）求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)c_n=a_n+b_n，求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和．

16．某網(wǎng)店統(tǒng)計(jì)了連續(xù)三天售出商品的種類情況：第一天售出19種商品，第二天售出13種商品，第三天售出18種商品；前兩天都售出的商品有3種，后兩天都售出的商品有4種，則該網(wǎng)店
①第一天售出但第二天未售出的商品有16種；
②這三天售出的商品最少有29種．

15．在△ABC中，∠A=$\frac{2π}{3}$，a=$\sqrt{3}$c，則$\frac{c}$=1．