某港灣的平面示意圖如圖所示，O，A，B分別是海岸線l₁，l₂上的三個集鎮(zhèn)，A位于O的正南方向6km處，B位于O的北偏東60°方向10km處．
（Ⅰ）求集鎮(zhèn)A，B間的距離；
（Ⅱ）隨著經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，為緩解集鎮(zhèn)O的交通壓力，擬在海岸線l₁，l₂上分別修建碼頭M，N，開辟水上航線．勘測時發(fā)現(xiàn)：以O(shè)為圓心，3km為半徑的扇形區(qū)域為淺水區(qū)，不適宜船只航行．請確定碼頭M，N的位置，使得M，N之間的直線航線最短．

已知曲線C：x²=4y．
（1）若點P是直線y=2x-5上任意一點，過P作C的兩條切線PE，PF，切點分別為E，F(xiàn)，M為EF的中點，求證：PM⊥x軸
（2）在（1）的條件下，直線EF是否恒過一定點？若是，求出定點；若不是，說明理由．

如圖，四棱錐P-ABCD，PA⊥平面ABCD，且PA=4，底面ABCD為直角梯形，∠CDA=∠BAD=90°，AB=2，CD=1，AD=

2

，M，N分別為PD，PB的中點，平面MCN與PA交點為Q．
（Ⅰ）求PQ的長度；
（Ⅱ）求截面MCN與底面ABCD所成二面角的正弦值；
（Ⅲ）求點A到平面MCN的距離．

某音樂噴泉噴射的水珠呈拋物線形，它在每分鐘內(nèi)隨時間t（秒）的變化規(guī)律大致可用y=-（1+4sin²

tπ

60

）x²+20（sin

tπ

60

）x（t為時間參數(shù)，x的單位：m）來描述，其中地面可作為x軸所在平面，泉眼為坐標(biāo)原點，垂直于地面的直線為y軸．
（1）試求此噴泉噴射的圓形范圍的半徑最大值；
（2）若在一建筑物前計劃修建一個矩形花壇并在花壇內(nèi)裝置兩個這樣的噴泉，則如何設(shè)計花壇的尺寸和兩個噴水器的位置，才能使花壇的面積最大且能全部噴到水？

已知函數(shù)f（x）=

ex-1

ex+1

（1）試判斷該函數(shù)的奇偶性，并加以證明；
（2）當(dāng)f（x）＜a恒成立時，求實數(shù)a的取值范圍．

某單位從一所學(xué)校招收某類特殊人才．對20位已經(jīng)選拔入圍的學(xué)生進(jìn)行運動協(xié)調(diào)能力和邏輯思維能力的測試，其測試結(jié)果如下表：

邏輯思維能力 運動協(xié)調(diào)能力	一般	良好	優(yōu)秀
一般	2	2	1
良好	4	b	1
優(yōu)秀	1	3	a

例如表中運動協(xié)調(diào)能力良好且邏輯思維能力一般的學(xué)生是4人．由于部分?jǐn)?shù)據(jù)丟失，只知道從這20位參加測試的學(xué)生中隨機(jī)抽取一位，抽到邏輯思維能力優(yōu)秀的學(xué)生的概率為

1

5

．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）從運動協(xié)調(diào)能力為優(yōu)秀的學(xué)生中任意抽取2位，求其中至少有一位邏輯思維能力優(yōu)秀的學(xué)生的概率．

甲、乙兩容器中分別盛有兩種濃度的某種溶液300mL，從甲容器中取出100mL溶液，將其倒入乙容器中攪勻，再從乙容器中取出100mL溶液，將其倒入甲容器中攪勻，這稱為是一次調(diào)和，已知第一次調(diào)和后，甲、乙兩種溶液的濃度分別記為：a₁=20%，b₁=2%，第n次調(diào)和后的甲、乙兩種溶液的濃度分別記為：a_n，b_n．
（Ⅰ）請用a_n，b_n分別表示a_n+1和b_n+1；
（Ⅱ）問經(jīng)過多少次調(diào)和后，甲乙兩容器中溶液的濃度之差小于0.1%．

已知函數(shù)f(x)=

x

ex

(x∈R)，g(x)=

(2-x)ex

e2

（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的極值；
（Ⅱ）求證：當(dāng)x＞1時，函數(shù)y=g（x）的圖象恒在函數(shù)y=f（x）的圖象下方；
（Ⅲ）若k＞0，求不等式f′（x）-k（1-x）f（x）＜0的解集．

設(shè)向量

a

=（cosα，sinα），

b

=（cosβ，sinβ），其中0＜β＜α＜π．
（1）若

a

⊥

b

，求| 

a

+

3

b

 |的值；
（2）設(shè)向量

c

=(0，

3

)，且

a

+

b

=

c

，求α，β的值．

已知橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

3

2

，且過點（

3

，

1

2

）．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線l：y=kx+t 與圓C：x²+y²=R²（1＜R＜2）相切于點A，且l與橢圓E只有一個公共點B．
①求證：k²=

R2-1

4-R2

；
②當(dāng)R為何值時，丨AB丨取得最大值？并求出最大值．