已知函數(shù)f（x）=x|x+a|-

1

2

lnx，若f（x）＞0恒成立，求a的取值范圍．

已知sin³θ+cos³θ=1，求sinθ+cosθ的值．

已知定點A（4，0），圓C：x²+y²=4上有一動點P，設(shè)M為線段AP上一點，且滿足

AM

=2

MP

，求動點M的軌跡方程．

設(shè)f（α）=

sin(2π-α)cos(π+α)cos( π 2 -α)

cos(π-α)sin(π-α)sin( 9π 2 )

，化簡并求f（

π

4

）的值．

已知A為△ABC的內(nèi)角，求sinA+2sin²

A

2

的取值范圍．

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=

2

3

，a_n+1=

n

n+1

a_n，求a_n．

設(shè)符號“@”是數(shù)集A中的一種運算，如果對于任意x，y∈A，都有x@y∈A，則稱運算@對集合A是封閉的．設(shè)A=（x|x=m+

2

n，m，n∈Z），判斷A對通常的實數(shù)的乘法運算是否封閉．

我們將不與拋物線對稱軸平行或重合且與拋物線只有一個公共點的直線稱為拋物線的切線，這個公共點稱為切點．解決下列問題：已知拋物線x²=2py（p＞0）上的點（x₀，3）到焦點的距離等于4，直線l：y=kx+b與拋物線相交于不同的兩點A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），且|x₂-x₁|=h（h為定值）．設(shè)線段AB的中點為D，與直線l：y=kx+b平行的拋物線的切點為C．
（1）求出拋物線方程，并寫出焦點坐標、準線方程；
（2）用k、b表示出C點、D點的坐標，并證明CD垂直于x軸；
（3）求△ABC的面積，證明△ABC的面積與k、b無關(guān)，只與h有關(guān)．

定義在實數(shù)集上的函數(shù)f（x）=x²+x，g（x）=

1

3

x³-2x+m．
（1）求函數(shù)f（x）的圖象在x=1處的切線方程；
（2）若f（x）≥g（x）對任意的x∈[-4，4]恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

設(shè)橢圓Γ₁的中心和拋物線Γ₂的頂點均為原點O，Γ₁、Γ₂的焦點均在x軸上，過Γ₂的焦點F作直線l，與Γ₂交于A、B兩點，在Γ₁、Γ₂上各取兩個點，將其坐標記錄于下表中：

x	3	-2	4	3
y	-2 3	0	-4	- 3 2

（1）求Γ₁，Γ₂的標準方程；
（2）若l與Γ₁交于C、D兩點，F(xiàn)₀為Γ₁的左焦點，求

S△F0AB

S△F0CD

的最小值；
（3）點P、Q是Γ₁上的兩點，且OP⊥OQ，求證：

1

|OP|2

+

1

|OQ|2

為定值；反之，當

1

|OP|2

+

1

|OQ|2

為此定值時，OP⊥OQ是否成立？請說明理由．