如圖，曲線C由半橢圓

y2

a2

+

x2

b2

=1（y≥0）與圓弧x²+（y-c）²=a²（y≤0）組成的，F(xiàn)（0，c）為半橢圓的一個焦點，A₁、A₂和B₁、B₂分別是曲線C與x軸、y軸交點，已知橢圓的離心率e=

1

2

，S △FA1B1=

3

．
（Ⅰ）求a，b，c的值；
（Ⅱ）過點F且不與x軸垂直的直線l交曲線C于P、Q兩點．
（i）求證：當且僅當P，Q均在半橢圓

y2

a2

+

x2

b2

=1（y≥0）上時，△B₁PQ的周長L取最大，且最大值為8；
（ii）當△B₁PQ的周長L取最大時，求弦PQ長度的取值范圍．

已知橢圓

x2

2

+y²=1及點B（0，-2），過左焦點F₁與B的直線交橢圓于C、D兩點，F(xiàn)₂為其右焦點，求△CDF₂的面積．

如圖，四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，DD₁⊥底面ABCD．ABCD為平行四邊形，∠DAB=60°，AB=2AD=2．DD₁=3，E，F(xiàn)分別是AB與D₁E的中點．
（1）求證：CE⊥DF； 
（2）求二面角A-EF-C的平面角的余弦值．

如圖，在四棱柱P-ABCD中，底面ABCD是矩形，E是棱PA的中點，PD⊥BC．求證：
（I）PC∥平面BED；
（Ⅱ）BC⊥PC．

（1）用綜合法證明：a²+b²+c²≥ab+bc+ca，（a，b，c∈R）；
（2）用反證法證明：若a，b，c均為實數(shù)，且a=x²-2y+

π

2

，b=y²-2z+

π

3

，c=z²-2x+

π

6

，求證a，b，c中至少有一個大于0．

已知圓O：x²+y²=4．
（1）直線l₁：

3

x+y-2

3

=0與圓O相交于A、B兩點，求|AB|；
（2）如圖，設M（x₁，y₁）、P（x₂，y₂）是圓O上的兩個動點，點M關于原點的對稱點為M₁，點M關于x軸的對稱點為M₂，如果直線PM₁、PM₂與y軸分別交于（0，m）和（0，n），問m•n是否為定值？若是求出該定值；若不是，請說明理由；
（3）過O點任作一直線與直線x=4交于E點，過（2，0）點作直線與OE垂直，并且交直線x=4于F點，以EF為直徑的圓是否過定點，如過定點求出其坐標，如不過，請說明理由．

已知ω是正實數(shù)，函數(shù)f（x）=4cosωx•sin（ωx+

π

4

）的最小正周期是π．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）若函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[0，a]內有且僅有2個零點，求正實數(shù)a的取值范圍．

在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E為BC的中點，求：
（1）求異面直線C₁E與BD 所成角的余弦值；
（2）求二面角C₁-DE-C的余弦值．

如圖，四棱錐P-ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，點E在棱PB上．
（1）求證：平面AEC⊥平面PDB；
（2）當PD=

2

AB=2，且VA-PED=

1

3

時，確定點E的位置，即求出

PE

EB

的值．
（3）在（2）的條件下若F是PD的靠近P的一個三等分點，求二面角A-EF-D的余弦值．

如圖，在⊙O的直徑AB的延長線上任取一點C，過點C引直線與⊙O交于點D、E，在⊙O上再取一點F，使

AE

=

AF

．
（Ⅰ）求證：E、D、G、O四點共圓；
（Ⅱ）如果CB=OB，試求

CB

CG

的值．