求證：

1+sin4θ-cos4θ

2tanθ

=

1+sin4θ+cos4θ

1-tan2θ

．

在數(shù)列{a_n}中，a₁=

1

5

，a_n+a_n+1=

6

5n+1

（n∈N₊）
（1）證明：{5ⁿa_n-1}是常數(shù)列；
（2）設(shè)x_n=（2n-1）•10ⁿa_n，求{x_n}的前n項(xiàng)和T_n．

求函數(shù)y=2cos²x-

1

2

的圖象與x軸及直線x=0、x=π所圍成的圖形的面積．

數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和記為Sn，已知a₁=1，Sn=

n

n+2

an+1，（n=1，2，3，…）
（Ⅰ）求數(shù)列{S_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)T_n=S₁+S₂+S₃+…+S_n，求T_n．

已知四邊形ABCD是矩形，AB=

2

，BC=

6

，將△ABC沿著對角線AC折起來得到△AB₁C，且頂點(diǎn)B₁在平面AB=CD上射影O恰落在邊AD上，如圖所示．
（1）求證：AB₁⊥平面B₁CD；
（2）求三棱錐B₁-ABC的體積V_B1-ABC．

已知數(shù)列{a_n}滿足a1=

5

2

，且an=

4an-1-1

an-1+2

（n∈N^*，且n≥2）
（Ⅰ）設(shè)bn=

1

an-1

，求證：{b_n}是等差數(shù)列；
（Ⅱ）設(shè)cn=(n+1)•3n•an，求{c_n}的前n項(xiàng)和S_n．

如圖，獨(dú)秀峰是川東著名風(fēng)景區(qū)萬源八臺(tái)山的一個(gè)精致景點(diǎn)．它峰座凸兀，三面以溝壑與陡峭山壁阻隔．峰體雄偉挺拔險(xiǎn)峻，北、西、南三面環(huán)山，東面空曠．峰頂一千年松傲雪挺立．為了測這千年松樹高，我們選擇與峰底E同一水平線的A、B為觀測點(diǎn)，現(xiàn)測得AB=20米，點(diǎn)A對主梢C和主干底部D的仰角分別是40°、30°，點(diǎn)B對D的仰角是45°．求這棵千年松樹高多少米（即求CD的長，結(jié)果保留整數(shù)．參考數(shù)據(jù)：sin10°=0.17，sin50°=0.8，

6

=2.4，

2

=1.4）

去年2月29日，我國發(fā)布了新修訂的《環(huán)境空氣質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)》指出空氣質(zhì)量指數(shù)在0-50為優(yōu)秀，各類人群可正�；顒�(dòng)．惠州市環(huán)保局對我市2014年進(jìn)行為期一年的空氣質(zhì)量監(jiān)測，得到每天的空氣質(zhì)量指數(shù)，從中隨機(jī)抽取50個(gè)作為樣本進(jìn)行分析報(bào)告，樣本數(shù)據(jù)分組區(qū)間為（5，15]，（15，25]，（25，35]，（35，45]，由此得到樣本的空氣質(zhì)量指數(shù)頻率分布直方圖，如圖．
（1）求a的值；
（2）根據(jù)樣本數(shù)據(jù)，試估計(jì)這一年度的空氣質(zhì)量指數(shù)的平均值；（注：設(shè)樣本數(shù)據(jù)第i組的頻率為p_i，第i組區(qū)間的中點(diǎn)值為x_i（i=1，2，3，…，n），則樣本數(shù)據(jù)的平均值為

.

X

=x₁p₁+x₂p₂+x₃p₃+…+x_np_n）
（3）如果空氣質(zhì)量指數(shù)不超過15，就認(rèn)定空氣質(zhì)量為“特優(yōu)等級”，則從這一年的監(jiān)測數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取3天的數(shù)值，其中達(dá)到“特優(yōu)等級”的天數(shù)為ξ，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

如圖P是△ABC所在平面外一點(diǎn)，PA=PB，CB⊥平面PAB，M是PC的中點(diǎn)，N是AB上的點(diǎn)，AN=3NB．求證：MN⊥AB．

設(shè)f（x）=x³-x²-x+a，a∈R，求函數(shù)y=f（x）的單調(diào)區(qū)間．