市場營銷人員對過去幾年某商品的價格及銷售數量的關系作數據分析發(fā)現有如下規(guī)律：該商品的價格每上漲x%(x＞0)，銷售數量就減少kx％(其中k為正常數)，目前該商品定價每個a元，統(tǒng)計其銷售數量為b個．

(1)當k＝時，該商品的價格上漲多少，就能使銷售的總金額達到最大？

(2)在適當的漲價過程中，求使銷售總金額不斷增加時k的取值范圍．

牛頓冷卻規(guī)律描述一個物體常溫環(huán)境下的溫度變化．經過一定時間h后的溫度T將滿足：T－T_α＝(T₀－T_α)·……①，其中T_α是環(huán)境溫度．使上式成立所需要的時間h稱為半衰期，在這樣的情況下，t時間后的溫度T也滿足①．

現有一杯用F熱水沖的速溶咖啡，放置在F的房間中，如果咖啡降溫到F需20分鐘，問欲降溫到F需多少時間？

某市對居民生活用水的收費方法是：水費＝基本用水費＋超額用水費＋定額水損耗費．

若每月用水量不超過限量am³時，只收取基本用水費8元和每戶每月的定額水損耗費c元；若用水量超過am³時，除了要收取同上的基本用水費和定額水損耗費外，超過部分每m³還要收取b元的超額用水費．已知每戶每月的定額水損耗費不超過5元．下表是該市一個家庭在第一季度的用水量和支付費用情況：

根據上表中的數據，求出a、b、c的值．

某計算機集團公司，生產某種型號的計算機的固定成本為2000000元，生產每臺計算機的可變成本3000元，每臺計算機的售價為5000元，如圖所示，求總產量x對總成本C、單位成本P、銷售收入R以及利潤L的函數關系，并作出簡要分析

有一個受到污染的湖泊，其湖水的容積為v立方米，每天流出湖泊的水量等于流入湖泊的水量，都為r立方米．現假設下雨和蒸發(fā)正好平衡，且污染物質與湖水能很好地混合．用g(t)表示某一時刻t每立方米湖水所含污染物質的克數，我們稱其為在時刻t時的湖水污染質量分數．已知目前污染源以每天p克的污染物質污染湖水，湖水污染質量分數滿足關系式g(t)＝＋[g(0)－](p≥0)，其中g(0)是湖水污染的初始質量分數．

(1)當湖水污染質量分數為常數時，求湖水污染的初始質量分數；

(2)求證：當g(0)＜時，湖泊的污染程度將越來越嚴重；

(3)如果政府加大治污力度，使得湖泊的所有污染停止，問經過多少天才能使湖水的污染水平下降到開始時污染水平的5%．

在經濟學中，函數f(x)的邊際函數，Mf(x)定義為Mf(x)＝f(x＋1)－f(x)．某公司每月最多生產100臺報警系統(tǒng)裝置，生產x臺的收入函數為R(x)＝3000x－20x²(單位：元)，其成本函數為C(x)＝500x＋4000(單位：元)，利潤是收入與成本之差．

(1)求利潤函數P(x)及邊際利潤MP(x)；

(2)利潤函數P(x)與邊際利潤函數MP(x)是否具有相等的最大值？

(3)你認為本題中邊際利潤函數MP(x)取最大值的實際意義是什么？

有三個新興城鎮(zhèn)，分別位于A，B，C三點處，且AB＝AC＝12，BC＝10．今計劃合建一個中心醫(yī)院，為同時方便三鎮(zhèn)，準備建在BC的垂直平分線上的P點處．(建立坐標系如圖)

(Ⅰ)若希望點P到三鎮(zhèn)距離的平地方和為最小，點P右位于何處？

(Ⅱ)若希望點P到三鎮(zhèn)的最遠距離為最小，點P應位于何處？

某摩托車生產企業(yè)，上年度生產摩托車的投入成本為1萬元/輛，出廠價為1.2萬元/輛，年銷售量為1000輛．本年度為適應市場需求，計劃提高產品檔次，適度增加投入成本．若每輛車投入成本增加的比例為x(0＜x＜1)，則出廠價相應的提高比例為0.75x，同時預計年銷售量增加的比例為0.6x．已知年利潤＝(出廠價－投入成本)×年銷售量

(1)寫出本年度預計的年利潤y與投入成本增加的比例x的關系式．

(2)為使本年度的年利潤比上年有所增加，問投入成本增加的比例x應在什么范圍內？

某地區(qū)上年度電價為0.8元/kW·h，年用電量為akW·h．本年度計劃將電價降到0.55元/kW·h至0.75元/kW·h之間，而用戶期望電價為0.4元/kW·h．經測算，下調電價后新增的用電量與實際電價和用戶期望電價的差成反比(比例系數為k)該地區(qū)電力的成本價為0.3元/kW·h．

(1)寫出本年度電價下調后，電力部門的收益y與實際電價x的函數關系式；

(2)設k＝0.2a，當電價最低定為多少時，才可保證電力部門的收益比上年至少增長20％？

已知f(x)＝log₂，g(x)＝log₂(x－2)＋log₂(p－x)(p＞2)

(1)求f(x)，g(x)同時有意義的實數x的取值范圍；

(2)求F(x)＝f(x)＋g(x)的值域；