如圖，已知F₁、F₂為雙曲線（a＞0，b＞0）的焦點(diǎn)，過(guò)F₂作垂直于x軸的直線交雙曲線于點(diǎn)P，且∠PF₁F₂＝30°．求雙曲線的漸近線方程．

設(shè)F₁、F₂分別為橢圓C： =1（a＞b＞0）的左、右兩個(gè)焦點(diǎn).

（1）若橢圓C上的點(diǎn)A（1，）到F₁、F₂兩點(diǎn)的距離之和等于4，寫出橢圓C的方程和焦點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）設(shè)點(diǎn)K是（1）中所得橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，求線段F₁K的中點(diǎn)的軌跡方程；

（3）已知橢圓具有性質(zhì)：若M、N是橢圓C上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)P是橢圓上任意一點(diǎn)，當(dāng)直線PM、PN的斜率都存在，并記為k_PM、k_PN時(shí)，那么k_PM與k_PN之積是與點(diǎn)P位置無(wú)關(guān)的定值.試對(duì)雙曲線寫出具有類似特性的性質(zhì)，并加以證明.

如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD是一直角梯形，∠BAD=90°，AD∥BC，AB=BC=a，AD=2a，且PA⊥底面ABCD，PD與底面成30°角.

（1）若AE⊥PD，E為垂足，求證：BE⊥PD；

（2）求異面直線AE與CD所成角的大小.

如圖，已知平行六面體ABCD—A₁B₁C₁D₁的底面ABCD是菱形且∠C₁CB=∠C₁CD=∠BCD=60°.

（1）證明：C₁C⊥BD；

（2）假定CD=2，CC₁=，記面C₁BD為α，面CBD為β，求二面角α—BD—β的平面角的余弦值；

（3）當(dāng)的值為多少時(shí)，能使A₁C⊥平面C₁BD？請(qǐng)給出證明.

如圖所示，直三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，CA=CB=1，∠BCA=90°，棱AA₁=2，M、N分別是A₁B₁、A₁A的中點(diǎn).

（1）求的長(zhǎng)；

（2）求cos< >的值；

（3）求證：A₁B⊥C₁M.

如圖所示四面體ABCD中，AB、BC、BD兩兩互相垂直，且AB=BC=2，E是AC中點(diǎn)，異面直線AD與BE所成的角的大小為arccos，求四面體ABCD的體積.

四棱錐P—ABCD中，底面ABCD是一個(gè)平行四邊形， ={2，－1，－4}，={4，2，0}，={－1，2，－1}.

（1）求證：PA⊥底面ABCD；

（2）求四棱錐P—ABCD的體積；

（3）對(duì)于向量a={x₁，y₁，z₁}，b={x₂，y₂，z₂}，c={x₃，y₃，z₃}，定義一種運(yùn)算：

（a×b）·c=x₁y₂z₃+x₂y₃z₁+x₃y₁z₂－x₁y₃z₂－x₂y₁z₃－x₃y₂z₁，試計(jì)算（×）·的絕對(duì)值的值；說(shuō)明其與四棱錐P—ABCD體積的關(guān)系，并由此猜想向量這一運(yùn)算（×）·的絕對(duì)值的幾何意義.

在棱長(zhǎng)為a的正方體OABC—O′A′B′C′中，E、F分別是棱AB、BC上的動(dòng)點(diǎn)，且AE=BF.如圖.

（1）求證：A′F⊥C′E.

（2）當(dāng)三棱錐B′—BEF的體積取得最大值時(shí)，求二面角B′—EF—B的大�。ńY(jié)果用反三角函數(shù)表示）

如圖，以正四棱錐V—ABCD底面中心O為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系O—xyz，其中Ox∥BC，Oy∥AB，E為VC的中點(diǎn)，正四棱錐底面邊長(zhǎng)為2a，高為h.

（1）求cos< >；

（2）記面BCV為α，面DCV為β，若∠BED是二面角α—VC—β的平面角，求∠BED.

如圖，正三棱柱ABC—A₁B₁C₁的底面邊長(zhǎng)為a，側(cè)棱長(zhǎng)為a.

（1）建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，并寫出點(diǎn)A、B、A₁、C₁的坐標(biāo)；

（2）求AC₁與側(cè)面ABB₁A₁所成的角.