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6.設(shè)函數(shù)f(x)=|2x-1|+|x+1|.
(1)求f(x)≥2的解集;
(2)若函數(shù)f(x)的最小值為m,a,b均為正實(shí)數(shù),a+b=m,求a2+b2的最小值.

分析 (1)先去掉絕對(duì)值,化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式,分類討論求得f(x)≥2的解集.
(2)根據(jù)函數(shù)的解析式求得函數(shù)f(x)的最小值,再利用基本不等式求得a2+b2的最小值.

解答 解:(1)∵f(x)=|2x-1|+|x+1|={3xx1x+21x123xx12,
{3x2x1x1;由{1x12x+221x0;由{x123x2x23
∴不等式f(x)≥2的解集為{x|x0x23}
(2)由函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,根據(jù)函數(shù)的解析式可知,當(dāng)x=12時(shí),函數(shù)f(x)的最小值為f12=32,
故有 a+b=32a+b2=a2+b2+2ab2a2+b2,可得a2+b298,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí),取等號(hào),
所以a2+b2的最小值為98

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查帶有絕對(duì)值的函數(shù),絕對(duì)值不等式的解法,基本不等式的應(yīng)用,體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、分類討論的數(shù)學(xué)思想,屬于中檔題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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