Question

設f '(x)和g'(x)分別是f(x)和g(x)的導函數，若f '(x)g'(x)≤0在區(qū)間I上恒成立，則稱f(x)和g(x)在區(qū)間I上單調性相反．若函數f(x)＝x3－2ax與g(x)＝x2＋2bx在開區(qū)間(a，b)上單調性相反(a＜b)，則b－a的最大值為______．

 

Answer 1

【解析】試題分析：∵f(x)＝x3－2ax，g(x)＝x2＋2bx，

∴f '(x)＝x2－2a，g'(x)＝2x＋2b；

由題意得f '(x)g'(x)≤0在(a，b)上恒成立，

∵a＞0，∴b＞a＞0，∴2x＋2b＞0恒成立，

∴x2－2a≤0恒成立，即－≤x≤；

又∵0＜a＜x＜b，∴b≤，

即0＜a≤，解得0＜a≤2；

∴b－a≤－a＝－()2＋，

當a＝時，取“＝”，

∴b－a的最大值為．

故答案為．

考點：利用導數研究函數的性質，函數的單調性，最值