Question

已知函數(shù)f（x）=

2x

2x+1

+a是奇函數(shù)．
（1）求實(shí)數(shù)a的值；
（2）判斷函數(shù)在R上的單調(diào)性并用函數(shù)單調(diào)性的定義證明；
（3）對(duì)任意的實(shí)數(shù)x，不等式f（x）＞2m-1恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由奇函數(shù)定義知，有f（-x）=-f（x）恒成立，由此可求a值；
（2）設(shè)x₁、x₂∈R且x₁＜x₂，通過(guò)作差判斷f（x₂）與f（x₁）的大小，利用函數(shù)單調(diào)性的定義可作出判斷；
（3）對(duì)任意的實(shí)數(shù)x，不等式f（x）＞2m-1恒成立，等價(jià)于2m-1＜f（x）_min，根據(jù)基本函數(shù)的值域可求出f（x）_min．

解答：（1）由f（x）=

2x

2x+1

+a是奇函數(shù)，有f（-x）=-f（x），
∴

2-x

2-x+1

+a=-(

2x

2x+1

+a），
∴2a=-

2x

2x+1

-

1

2x+1

=-1，
∴a=-

1

2

．
（2）f（x）在R上是增函數(shù)．
f（x）=

2x

2x+1

-

1

2

=

2x+1-1

2x+1

-

1

2

=

1

2

-

1

2x+1

設(shè)x₁、x₂∈R且x₁＜x₂，
f（x₂）-f（x₁）=(

1

2

-

1

2x2+1

)-(

1

2

-

1

2x1+1

)
=

2x2-2x1

(2x2+1)(2x1+1)

，
∵x₁＜x₂，∴2x2＞2x1，
∴

2x2-2x1

(2x2+1)(2x1+1)

＞0，即f（x₂）＞f（x₁），
∴f（x）在R上是增函數(shù)．
（3）對(duì)任意的實(shí)數(shù)x，不等式f（x）＞2m-1恒成立，
則只要2m-1＜f（x）_min，
∵2^x+1＞1∴0＜

1

2x+1

＜1，
∴-1＜-

1

2x+1

＜0，
-

1

2

＜

1

2

-

1

2x+1

＜

1

2

，即-

1

2

＜f（x）＜

1

2

，
∴2m-1≤-

1

2

，
∴m≤

1

4

．即m的取值范圍為：（-∞，

1

4

]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性以及不等式恒成立問(wèn)題，對(duì)于函數(shù)奇偶性、單調(diào)性常用定義解決，而恒成立則往往轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問(wèn)題．