Question

在空間中，過(guò)點(diǎn)A作平面π的垂線，垂足為B，記B=f_π（A）．設(shè)α，β是兩個(gè)不同的平面，對(duì)空間任意一點(diǎn)P，Q₁=f_β[f_α（P）]，Q₂=f_α[f_β（P）]，恒有PQ₁=PQ₂，則（　�。�

A．平面α與平面β垂直

B．平面α與平面β所成的（銳）二面角為45°

C．平面α與平面β平行

D．平面α與平面β所成的（銳）二面角為60°

Answer 1

設(shè)P₁=f_α（P），則根據(jù)題意，得點(diǎn)P₁是過(guò)點(diǎn)P作平面α垂線的垂足


∵Q₁=f_β[f_α（P）]=f_β（P₁），
∴點(diǎn)Q₁是過(guò)點(diǎn)P₁作平面β垂線的垂足
同理，若P₂=f_β（P），得點(diǎn)P₂是過(guò)點(diǎn)P作平面β垂線的垂足
因此Q₂=f_α[f_β（P）]表示點(diǎn)Q₂是過(guò)點(diǎn)P₂作平面α垂線的垂足
∵對(duì)任意的點(diǎn)P，恒有PQ₁=PQ₂，
∴點(diǎn)Q₁與Q₂重合于同一點(diǎn)
由此可得，四邊形PP₁Q₁P₂為矩形，且∠P₁Q₁P₂是二面角α-l-β的平面角
∵∠P₁Q₁P₂是直角，∴平面α與平面β垂直
故選：A