Question

1．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，a₁=0，4S_n=1-a_n+1，n∈N^*．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）記b_n=（-1）ⁿlog₃a_2n，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）通過(guò)4S_n=1-a_n+1與4S_n-1=1-a_n作差，整理可知a_n+1=-3a_n，驗(yàn)證當(dāng)n=1時(shí)是否成立即可；
（2）通過(guò)（1）可知b_n=（-1）ⁿ2（n-1），進(jìn)而分n為奇數(shù)、偶數(shù)兩種情況討論即可．

解答 解：（1）∵4S_n=1-a_n+1，
∴當(dāng)n≥2時(shí)，4S_n-1=1-a_n，
兩式相減得：4a_n=a_n-a_n+1，即a_n+1=-3a_n，
又∵a₁=0，4S_n=1-a_n+1，
∴a₂=1-4a₁=1不滿(mǎn)足上式，
∴a_n=$\left\{\begin{array}{l}{0，}&{n=1}\\{（-3）^{n-2}，}&{n≥2}\end{array}\right.$；
（2）由（1）可知a_2n=（-3）^2n-2=3^2n-2，
∴b_n=（-1）ⁿlog₃a_2n=（-1）ⁿlog₃3^2n-2=（-1）ⁿ2（n-1），
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，T_n=0+2-4+6+…-2（n-3）+2（n-2）-2（n-1）
=$\frac{n-1}{2}$×2-2（n-1）
=-n+1；
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，T_n=0+2-4+6+…+2（n-3）-2（n-2）+2（n-1）=$\frac{n}{2}$×2=n；
綜上所述，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n=$\left\{\begin{array}{l}{-n+1，}&{n為奇數(shù)}\\{n，}&{n為偶數(shù)}\end{array}\right.$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和，考查分類(lèi)討論的思想，注意解題方法的積累，屬于中檔題．