分析 (1)法一:求出f(x)的導數,計算f(e),f(e2),f(e3)的值,從而求出函數的值域;法二:求出函數的導數,得到函數的單調區(qū)間,從而求出函數的值域即可;
(2)令g(b)=2f(a)+f(b)-3f(2a+b3),通過討論函數的單調性,證明即可.
解答 解:(1)法一:由題易知f′(x)=lnx-2,由f′(x)=0可得x=e2.
因為f(e)=8-2e,f(e2)=8-e2,f(e3)=8,
故函數y=f(x)在[e,e3]的值域為[8-e2,8];
法二:由題易知f′(x)=lnx-2,由f′(x)>0可得x>e2,
由f′(x)<0可得0<x<e2,
故函數y=f(x)在(0,e2)遞減,在(e2,+∞)遞增,
從而y=f(x)在[e,e2)遞減,在[e2,e3]遞增,
因為f(e)=8-2e,f(e2)=8-e2,f(e3)=8,
故函數y=f(x)在[e,e3]的值域為[8-e2,8];
(2)令g(b)=2f(a)+f(b)−3f(2a+b3),
則g′(b)=f′(b)−f′(2a+b3)=ln3b2a+b>0,
故g(b)在(a,+∞)遞增,得g(b)>g(a)=0,
令h(b)=g(b)-(b-a)ln3,
則h'(b)=g'(b)-ln3=ln2a+b<0,
故函數h(b)在(a,+∞)遞減,
得h(b)<h(a)=0,
故g(b)<(b-a)ln3,
綜上可知0<g(b)<(b-a)ln3,
即0<2f(a)+f(b)−3f(2a+b3)<(b−a)ln3.
點評 本題考查了函數的單調性、最值問題,考查導數的應用,是一道中檔題.
科目:高中數學 來源: 題型:選擇題
A. | (−∞,√2) | B. | (−∞,2√2) | C. | (−√2,√2) | D. | (−2√2,2√2) |
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科目:高中數學 來源: 題型:解答題
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