Question

（2012•蕪湖二模）如圖，四棱錐P-ABCD的底面是正方形，PD⊥面ABCD，E是PD上一點(diǎn)．
（1）求證：AC⊥BE．
（2）若PD=AD=1，且∠PCE的余弦值為

3 10

10

，求三棱錐E-PBC的體積．

Answer 1

分析：（1）連接BD，由已知中四棱錐P-ABCD的底面是正方形，PD⊥面ABCD，可得PD⊥AC，進(jìn)而得到AC⊥面PBD，由線面平行的定義，可得答案．
（2）設(shè)PE=x，由勾股定理求出CE，結(jié)合∠PCE的余弦值為

3 10

10

，由余弦定理可得x值，代入棱錐體積公式可得答案．

解答：解：（1）連接BD
∵ABCD是正方形
∴AC⊥BD又PD⊥面ABCD
∴PD⊥AC
∵PD∩BD=D
∴AC⊥面PBD，又BE?面PBD
∴AC⊥BE…（6分）
（2）設(shè)PE=x，則CE=

DE2+CD2

=

(1-x)2+1

又PC=

2

cos∠PCE=

3

10

∴△PCE中，由余弦定理解為：x=

1

2

∴S△PCE=

1

2

•PE•CD=

1

4

∴VE-PBC=VB-PCE=

1

3

•BCS△PCE=

1

3

•1•

1

4

=

1

12

…（12分）

點(diǎn)評(píng)：（1）的關(guān)鍵是于熟練掌握線面垂直，線線垂直之間的相互轉(zhuǎn)化，熟練掌握線面垂直的定義及判定是基礎(chǔ)；
（2）的關(guān)鍵是利用等積法，將三棱錐轉(zhuǎn)化為B-PEC，解三角形PEC求出底面面積