已知函數(shù)f（x）定義在（-1，1）上，對于任意的x，y∈（-1，1），有數(shù)學(xué)公式，且當(dāng)x＜0時，f（x）＞0．
（Ⅰ）驗(yàn)證函數(shù)數(shù)學(xué)公式是否滿足這些條件；
（Ⅱ）判斷這樣的函數(shù)是否具有奇偶性和其單調(diào)性，并加以證明．

解：（Ⅰ）由可得-1＜x＜1，即其定義域?yàn)椋?1，1）
又==
又當(dāng)x＜0時，1-x＞1+x＞0，∴∴
故滿足這些條件．（3分）
（Ⅱ）∵f（0）+f（0）=f（0）?f（0）=0
∴f（-x）+f（x）=f（0）=0?f（-x）=-f（x）
∴f（x）在（-1，1）上是奇函數(shù)．
∵
當(dāng)-1＜x＜y＜1時，，由條件知，
即f（x）-f（y）＞0∴f（x）在（-1，1）上是減函數(shù)．
分析：（I）先求定義域看其是否滿足條件，然后驗(yàn)證函數(shù)是否滿足，最后求出當(dāng)x＜0時的值域，看是否滿足即可；
（II）要判定函數(shù)f（x）在（-1，1）上的奇偶性，只需判定f（-x）與f（x）的關(guān)系，先令x=y=0求出f（0），然后令y=-x即可判定，最后根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義進(jìn)行判定單調(diào)性．
點(diǎn)評：本題主要考查抽象函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性性，屬于中檔題，函數(shù)的奇偶性是函數(shù)在定義域上的“整體”性質(zhì)，單調(diào)性是函數(shù)的“局部”性質(zhì)．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）定義在（-1，1）上，對于任意的x，y∈（-1，1），有f(x)+f(y)=f(
x+y
1+xy
)，且當(dāng)x＜0時，f（x）＞0．
（Ⅰ）驗(yàn)證函數(shù)f(x)=ln
1-x
1+x
是否滿足這些條件；
（Ⅱ）判斷這樣的函數(shù)是否具有奇偶性和其單調(diào)性，并加以證明．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）定義在R上，并且對于任意實(shí)數(shù)x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）成立，且x≠y時，f（x）≠f（y），x＞0時，有f（x）＞0．
（1）判斷f（x）的奇偶性；
（2）若f（1）=1，解關(guān)于x的不等式f(x)-f(
1x-1
)≥2．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2009•連云港二模）已知函數(shù)f（x）定義在正整數(shù)集上，且對于任意的正整數(shù)x，都有f（x+2）=2f（x+1）-f（x），且f（1）=2，f（3）=6，則f（2009）=
4018
4018
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）定義在區(qū)間（-1，1）上，f（
1
2
）=-1，且當(dāng)x，y∈（-1，1）時，恒有f（x）-f（y）=f（
x-y
1-xy
），又?jǐn)?shù)列{an}滿足：a1=
1
2
，an+1=
2an
1+
a
2
n
．
（I）證明：f（x）在（-1，1）上為奇函數(shù)；
（II）求f（an）關(guān)于n的函數(shù)解析式；
（III）令g（n）=f（an）且數(shù)列{an}滿足bn=
1
g(n)
，若對于任意n∈N+，都有b1+b2+…+bn＜t2-3t恒成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）定義在R上，對任意的x∈R，f(x+1001)=
2
f(x)
+1
，已知f（11）=1，則f（2013）=
 
．

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