Question

已知數列{a_n}、{b_n}的各項均為正數且對任意n∈N⁺，都有a_n，b_n，a_n+1成等差數列，b_n，a_n+1，b_n+1成等比數列，且a₁=10，a₂=15．
（1）求證：數列{

bn

}是等差數列并求出數列{a_n}、{b_n}的通項公式；
（2）設S_n=

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

，如果對任意n∈N⁺，不等式2a•S_n＜2-

bn

an

恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

考點：數列的求和,等差數列的性質

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）由已知得2b_n=a_n+a_n+1，an+12=bnbn+1，進一步得an+1=

bnbn+1

，聯立后可得{

bn

}是等差數列，由等差數列的通項公式求數列{

bn

}的通項公式，進一步求得{b_n}的通項公式，結合an=

bn-1bn

求得數列{a_n}的通項公式；
（2）由（1）得

1

an

=

2

(n+3)(n+4)

，然后利用裂項相消法求得S_n，代入不等式2aSn＜2-

bn

an

化為4a(

1

4

-

1

n+4

)＜2-

n+4

n+3

，然后轉化為關于n的函數分類求解實數a的取值范圍．

解答： （1）證明：由已知，得2b_n=a_n+a_n+1     ①，
an+12=bnbn+1    ②，
由②可得an+1=

bnbn+1

    ③，
將③代入①，得對任意n≥2，n∈N^*，有2bn=

bn-1bn

+

bnbn+1

，即2

bn

=

bn-1

+

bn

，
∴{

bn

}是等差數列．
設數列{

bn

}的公差為d，由a₁=10，a₂=15，得b1=

25

2

，b₂=18，
∴

b1

=

5 2

2

，

b2

=3

2

，d=

b2

-

b1

=

2

2

，
∴

bn

=

b1

+(n-1)d=

5 2

2

+

2

2

(n-1)=

2

2

(n+4)，bn=

(n+4)2

2

．
由已知，當n≥2時，an=

bn-1bn

=

(n+3)(n+4)

2

，而a₁=10也滿足此式．
∴數列{a_n}、{b_n}的通項公式為：an=

(n+3)(n+4)

2

，bn=

(n+4)2

2

．
（2）解：由（1），得

1

an

=

2

(n+3)(n+4)

=2(

1

n+3

-

1

n+4

)，
則Sn=2[(

1

4

-

1

5

)+(

1

5

-

1

6

)+…+(

1

n+3

-

1

n+4

)]=2(

1

4

-

1

n+4

)=2(

1

4

-

1

n+4

)，
不等式2aSn＜2-

bn

an

化為4a(

1

4

-

1

n+4

)＜2-

n+4

n+3

，
不等式化為（a-1）n²+（3a-6）n-8＜0，
設f（n）=（a-1）n²+（3a-6）n-8，則f（n）＜0對任意n∈N^*恒成立．
當a-1＞0，即a＞1時，不滿足條件．
當a-1=0，即a=1時，滿足條件．
當a-1＜0，即a＜1時，函數f（n）圖象的對稱軸為直線x=-

3(a-2)

2(a-1)

＜0，f（n）關于n遞減，
只需f（1）=4a-15＜0，解得a＜

15

4

，故a＜1．
綜上可得，a的取值范圍是（-∞，1]．

點評：本題考查了等差數列和等比數列的性質，考查了裂項相消法求數列的前n項和，考查了數學轉化、分類討論等數學思想方法，考查了數列的函數特性，是中檔題．