Question

9．設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，S_n=n²+2a|n-2|（n∈N⁺），數(shù)列{a_n}為遞增數(shù)列，則實(shí)數(shù)a的取值范圍（$-\frac{5}{2}，\frac{3}{2}$）．

Answer 1

分析 由數(shù)列的前n項(xiàng)和求出S₁，S₂的值，由S₂＞S₁ 求得a$＜\frac{3}{2}$，當(dāng)n≥2時(shí)，S_n=n²+2a（n-2），由S_n+1＞S_n對(duì)任意得n∈N⁺且n≥2都成立，求得$a＞-\frac{5}{2}$，取交集得答案．

解答 解：當(dāng)n=1時(shí)，S₁=1²+2a|1-2|=2a+1，
當(dāng)n≥2時(shí)，S_n=n²+2a|n-2|=n²+2an-4a，
∵數(shù)列{a_n}為遞增數(shù)列，
∴S₂＞S₁，且S_n+1＞S_n對(duì)任意得n∈N⁺且n≥2都成立．
由S₂＞S₁，得4＞2a+1，即a$＜\frac{3}{2}$；
由S_n+1＞S_n對(duì)任意得n∈N⁺且n≥2都成立，
得（n+1）²+2a（n+1）-4a＞n²+2an-4a，
整理得$a＞\frac{-2n-1}{2}$（n≥2），
∴a$＞-\frac{5}{2}$，
取交集得：$-\frac{5}{2}＜a＜\frac{3}{2}$．
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是（$-\frac{5}{2}，\frac{3}{2}$）．
故答案為：（$-\frac{5}{2}，\frac{3}{2}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列遞推式，考查了數(shù)列的函數(shù)特性，訓(xùn)練了恒成立問(wèn)題的應(yīng)用，是中檔題．