【題目】已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí),求函數(shù)的極值;
(2)若恒成立,求的取值范圍;
(3)設(shè)函數(shù)的極值點(diǎn)為,當(dāng)變化時(shí),點(diǎn)(,)構(gòu)成曲線M.證明:任意過原點(diǎn)的直線,與曲線M均僅有一個(gè)公共點(diǎn).
【答案】(1) 的極大值為,無極小值;(2) ;(3) 證明見解析.
【解析】
(1)對函數(shù)求導(dǎo),求出單調(diào)區(qū)間,即可求出極值;
(2)恒成立,兩種解法:①分離參數(shù),構(gòu)造新函數(shù),轉(zhuǎn)化為與新函數(shù)的最值關(guān)系;②轉(zhuǎn)化為,對分類討論求出,轉(zhuǎn)化為解關(guān)于的不等式;
(3)先確定出點(diǎn)(,)構(gòu)成曲線M,直線與曲線M均僅有一個(gè)公共點(diǎn)轉(zhuǎn)化為函數(shù)的零點(diǎn),對分類討論,求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,結(jié)合零點(diǎn)存在性定理,即可得證.
(1)當(dāng)時(shí),,
則
當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞減;
當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞增;
所以當(dāng)時(shí),的極大值為,無極小值;
(2)(法一)∵,
∴由恒成立,得恒成立,
令則,
令,則,
∵,故
∴在在(0,+∞)單增,又,
∴,,,
即,,,,
∴,單減,),單增,
∴時(shí),取極小值即最小值,
∴;
法二:
由二次函數(shù)性質(zhì)可知,存在,使得,
即,且當(dāng)時(shí),,
當(dāng)時(shí),,
所以在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,
∴,
由題意可知,,
設(shè),則,即單調(diào)遞增.
∴的解集為(0,1],即,
∴;
(3)由(2)可知,
則曲線M的方程為,
由題意可知.對任意,
證明:方程均有唯一解,
設(shè),
則
①當(dāng)時(shí),恒成立,
所以在上單調(diào)遞增,
∵,
所以存在滿足時(shí),使得,
又因?yàn)?/span>單調(diào)遞增.所以為唯一解;
②當(dāng)且,即時(shí),
恒成立,所以在上單調(diào)遞增,
∵,,
∴存在使得,
又∵單調(diào)遞增,所以為唯一解;
③當(dāng)時(shí),有兩解,不妨設(shè),
因?yàn)?/span>,所以,列表如下:
+ | 0 | - | 0 | + | |
↗ | 極大值 | ↘ | 極小值 | ↗ |
由表可知,當(dāng)時(shí),
的極大值為,
∵,所以.
∴,
∴存在,使得,
又因?yàn)?/span>單調(diào)遞增,所以為唯一解:
綜上,原命題得證.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),其中,為自然對數(shù)的底數(shù).
(Ⅰ)設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),求函數(shù)在區(qū)間上的最小值;
(Ⅱ)若,函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn),求的取值范圍
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)若恒成立,求實(shí)數(shù)的最大值;
(2)在(1)成立的條件下,正實(shí)數(shù),滿足,證明:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,已知,若線段FP的中垂線l與拋物線C:總是相切.
(1)求拋物線C的方程;
(2)若過點(diǎn)Q(2,1)的直線l′交拋物線C于M,N兩點(diǎn),過M,N分別作拋物線的切線相交于點(diǎn)A.分別與y軸交于點(diǎn)B,C.
( i)證明:當(dāng)變化時(shí),的外接圓過定點(diǎn),并求出定點(diǎn)的坐標(biāo) ;
( ii)求的外接圓面積的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在直三棱柱ABC-A1B1C1中,已知AB⊥AC,AB=2,AC=4,AA1=3,D是BC的中點(diǎn).
(1) 求直線DC1與平面A1B1D所成角的正弦值;
(2) 求二面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的左焦點(diǎn),離心率為,點(diǎn)P為橢圓E上任一點(diǎn),且的最大值為.
(1)求橢圓E的方程;
(2)若直線l過橢圓的左焦點(diǎn),與橢圓交于A,B兩點(diǎn),且的面積為,求直線l的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知數(shù)列的首項(xiàng),且,.
(1)證明:是等比數(shù)列;
(2)若,中是否存在連續(xù)三項(xiàng)成等差數(shù)列?若存在,寫出這三項(xiàng),若不存在,請說明理由;
(3)若是遞減數(shù)列,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知F1、F2分別是雙曲線1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn),若雙曲線的右支上存在一點(diǎn)P,使得()0(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),且|PF1||PF2|,則雙曲線的離心率的取值范圍是_____.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】九章算術(shù)給出求羨除體積的“術(shù)”是:“并三廣,以深乘之,又以袤乘之,六而一”,其中的“廣”指羨除的三條平行側(cè)棱的長,“深”指一條側(cè)棱到另兩條側(cè)棱所在平面的距離,“袤”指這兩條側(cè)棱所在平行線之間的距離,用現(xiàn)代語言描述:在羨除中,,,,,兩條平行線與間的距離為h,直線到平面的距離為,則該羨除的體積為已知某羨除的三視圖如圖所示,則該羨除的體積為
A. B. C. D.
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