設(shè)定函數(shù)f（x）=
a
3
x3+bx2+cx+d（a＞0），且方程f′（x）-9x=0的兩個(gè)根分別為1，4．
（Ⅰ）當(dāng)a=3且曲線y=f（x）過原點(diǎn)時(shí)，求f（x）的解析式；
（Ⅱ）若f（x）在（-∞，+∞）無極值點(diǎn)，求a的取值范圍．
由得f′（x）=ax2+2bx+c
因?yàn)閒′（x）-9x=ax2+2bx+c-9x=0的兩個(gè)根分別為1，4，所以
a+2b+c-9=0
16a+8b+c-36=0
（*）
（Ⅰ）當(dāng)a=3時(shí)，又由（*）式得
2b+c-6=0
8b+c+12=0

解得b=-3，c=12
又因?yàn)榍�y=f（x）過原點(diǎn)，所以d=0
故f（x）=x3-3x2+12x
（Ⅱ）由于a＞0，所以“f(x)=
a
3
x3+bx2+cx+d在（-∞，+∞）內(nèi)無極值點(diǎn)”等價(jià)于“f′（x）=ax2+2bx+c≥0在（-∞，+∞）內(nèi)恒成立”．
由（*）式得2b=9-5a，c=4a．
又△=（2b）2-4ac=9（a-1）（a-9）
解
a＞0
△=9(a-1)(a-9)≤0
得a∈[1，9]
即a的取值范圍[1，9]
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

函數(shù)f（x）=exlnx在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程是（　　）
A．y=2e（x-1）B．y=ex-1C．y=e（x-1）D．y=x-e

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

若點(diǎn)P是曲線y=x2-lnx上一點(diǎn)，且在點(diǎn)P處的切線與直線y=x-2平行，則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為______．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知函數(shù)f（x）=
1
2
ax2+2lnx，曲線y=f（x）在x=1處的切線斜率為4．
（1）求a的值及切線方程；
（2）點(diǎn)P（x，y）為曲線y=f′（x）上一點(diǎn)，求y-x的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知函數(shù)y=xlnx
（1）求這個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；
（2）求這個(gè)函數(shù)的圖象在點(diǎn)x=1處的切線方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

方程x3-3x-m=0有且只有兩個(gè)不同的實(shí)根，則實(shí)數(shù)m=______．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

如圖為函數(shù)f（x）=
x
（0＜x＜1）的圖象，其在點(diǎn)M（t，f（t））處的切線為l，l與y軸和直線y=1分別交于點(diǎn)P、Q，點(diǎn)N（0，1），若△PQN的面積為b時(shí)的點(diǎn)M恰好有兩個(gè)，則b的取值范圍為______．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知函數(shù)f（x）=x3-（2a+2）x2+bx+c，設(shè)曲線y=f（x）在與x軸交點(diǎn)處的切線為y=x-1，函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)y=f′（x）的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱，求函數(shù)f（x）的解析式．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知函數(shù)f（x）=
x2+2x+a
x
，x∈[1，+∞）．
（1）當(dāng)a=
1
2
時(shí)，判斷證明f（x）的單調(diào)性并求f（x）的最小值；
（2）若對(duì)任意x∈[1，+∞），f（x）＞1恒成立，試求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

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