Question

已知函數(shù)f（x）=2sin（π-x）•cosx+sin²x-cos²x，x∈R．
（Ⅰ）求f（

π

2

）的值及函數(shù)f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）在[0，π]上的單調(diào)減區(qū)間．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,三角函數(shù)的周期性及其求法

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：利用誘導(dǎo)公式以及二倍角公式化簡函數(shù)的表達(dá)式為一個角的一個三角函數(shù)的形式，
（Ⅰ）直接求f（

π

2

）的值，直接求出函數(shù)f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）利用函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間求解函數(shù)f（x）在[0，π]上的單調(diào)減區(qū)間．

解答： 解：∵f（x）=2sin（π-x）•cosx+sin²x-cos²x=sin2x-cos2x=

2

sin（2x-

π

4

）．
（Ⅰ）f（

π

2

）

2

sin（2×

π

2

-

π

4

）=

2

×

2

2

=1．
顯然，函數(shù)f（x）=

2

sin（2x-

π

4

）．
的最小正周期為π．…（8分）
（Ⅱ）令2kπ+

π

2

≤2x-

π

4

≤2kπ+

3π

2

得
kπ+

3π

8

≤x≤kπ+

7π

8

，k∈Z．
又x∈[0，π]，∴x∈[

3π

8

，

7π

8

]．
函數(shù)f（x）在[0，π]上的單調(diào)減區(qū)間[

3π

8

，

7π

8

]．       …（13分）

點評：本題考查三角函數(shù)的化簡求值，考查三角函數(shù)的基本性質(zhì)的應(yīng)用．