Question

6．鈍角三角形ABC的面積是$\frac{1}{2}$，AB=1，BC=$\sqrt{2}$，則AC=$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 由已知利用三角形面積公式可求sinB，進而利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求cosB，利用余弦定理即可得解AC的值．

解答 解：因為鈍角三角形ABC的面積是$\frac{1}{2}$，AB=c=1，BC=a=$\sqrt{2}$，
∴S=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{1}{2}$，可得sinB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
當(dāng)B為鈍角時，cosB=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，利用余弦定理得：AC²=AB²+BC²-2AB•BC•cosB=1+2+2=5，即AC=$\sqrt{5}$．
當(dāng)B為銳角時，cosB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，利用余弦定理得：AC²=AB²+BC²-2AB•BC•cosB=1+2-2=1，即AC=1，此時AB²+AC²=BC²，即△ABC為直角三角形，不合題意，舍去．
故答案為：$\sqrt{5}$．

點評 本題主要考查了三角形面積公式，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，考查了分類討論思想，屬于中檔題．