精英家教網(wǎng)如圖,F(xiàn)是橢圓的右焦點(diǎn),以F為圓心的圓過原點(diǎn)O和橢圓的右頂點(diǎn),設(shè)P是橢圓的動點(diǎn),P到兩焦點(diǎn)距離之和等于4
(Ⅰ)求橢圓和圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)設(shè)直線l的方程為x=4,PM⊥l,垂足為M,是否存在點(diǎn)P,使得△FPM為等腰三角形?若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,說明理由.
分析:(Ⅰ)由已知可得2a=4,a=2c,由此能求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.
(Ⅱ)設(shè)P(x,y),則由題設(shè)知
x2
4
+
y2
3
=1
.由|PF|=
1
2
|PM|,|PF|≠|(zhì)PM|,知若|PF|=|FM|,則|PF|+|FM|=|PM|這與三角形兩邊之和大于第三邊矛盾,|PF|≠|(zhì)PM|.若|PM|=|FM|,則(x-4)2=12-
3
4
x2,由此解得存在兩點(diǎn)P(
4
7
3
7
15
),P(
4
7
,-
3
7
15
)使得△PFM為等腰三角形.
解答:解:(Ⅰ)由已知可得2a=4,a=2c?a=2,c=1,b2=a2-c2=3
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為
x2
4
+
y2
3
=1
,圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-1)2+y2=1
(Ⅱ)設(shè)P(x,y),則M(4,y),F(xiàn)(1,0)
∵P(x,y)在橢圓上∴
x2
4
+
y2
3
=1
?y2=
3
4
x2

|PF|2=(x-1)2+y2=(x-1)2+3-
3
4
x2=
1
4
(x-4)2
|PM|2=|x-4|2,9+y2=12-
3
4
x2
∴|PF|=
1
2
|PM|,|PF|≠|(zhì)PM|
(1)若|PF|=|FM|則|PF|+|FM|=|PM|這與三角形兩邊之和大于第三邊矛盾
∴|PF|≠|(zhì)PM|
(2)若|PM|=|FM|,則(x-4)2=12-
3
4
x2,解得x=4或x=
4
7

∵|x|≤2∴x=
4
7
∴y=±
3
7
15
∴P(
4
7
,±
3
7
15

綜上可得存在兩點(diǎn)P(
4
7
,
3
7
15
),P(
4
7
,-
3
7
15
)使得△PFM為等腰三角形.
點(diǎn)評:本題考查圓錐曲線的性質(zhì)和應(yīng)用,解題時要認(rèn)真審題,仔細(xì)求解.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:閱讀理解

(本題滿分12分)閱讀下列材料,解決數(shù)學(xué)問題.

圓錐曲線具有非常漂亮的光學(xué)性質(zhì),被人們廣泛地應(yīng)用于各種設(shè)計之中,比如橢圓鏡面用來制作電影放映機(jī)的聚光燈,拋物面用來制作探照燈等,它們的截面分別是橢圓和拋物線.雙曲線也具有非常好的光學(xué)性質(zhì),從雙曲線的一個焦點(diǎn)發(fā)出的光線,經(jīng)過雙曲線反射后,反射光線是發(fā)散的,它們好像是從另一個焦點(diǎn)射出的一樣,如右上圖所示.

反比例函數(shù)的圖像是以直線為軸,以坐標(biāo)軸為漸近線的等軸雙曲線,記作C.

(Ⅰ)求曲線C的離心率及焦點(diǎn)坐標(biāo);

(Ⅱ)如右下圖,從曲線C的焦點(diǎn)F處發(fā)出的光線經(jīng)雙曲線反射后得到的反射光線與入射光線垂直,求入射光線的方程.

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