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3.函數(shù)f(x)=axn(1-x)(x>0,n∈N*),當(dāng)n=-2時(shí),f(x)的極大值為427
(1)求a的值;
(2)若方程f(x)-m=0有兩個(gè)正實(shí)根,求m的取值范圍.

分析 (1)求出函數(shù)的對(duì)數(shù),根據(jù)n=2時(shí),f(x)的極大值為427,得到f(23)=a•49×13=427,解出即可;
(2)求出f(x)的導(dǎo)數(shù),得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,求出f(x)的值域,從而求出m的范圍.

解答 解:(1)n=2時(shí),f(x)=ax2(1-x),
∴f′(x)=ax(2-3x),
令f′(x)=0得:x=0或x=23,
∵n=2時(shí),f(x)的極大值為427
故a>0,且f(23)=a•49×13=427,解得:a=1;
(2)∵f(x)=xn(1-x),
∴f′(x)=nxn-1-(n+1)xn=(n+1)xn-1nn+1-x),
顯然,f(x)在x=nn+1處取得最大值,
f(nn+1)=nnn+1n+1,
∴f(x)的值域是(0,nnn+1n+1),
若方程f(x)-m=0有兩個(gè)正實(shí)根,
只需0<m<nnn+1n+1即可.

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值問(wèn)題,考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,是一道中檔題.

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