Question

已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)F(-2,0)，且長軸長與短軸長的比為，

（1）求橢圓C的方程；

（2）設(shè)點(diǎn)M(m,0)在橢圓C的長軸上，設(shè)點(diǎn)P是橢圓上的任意一點(diǎn)，若當(dāng)最小時(shí)，點(diǎn)P恰好落在橢圓的右頂點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

 

Answer 1

（1）（2）

【解析】

試題分析：

（1）根據(jù)橢圓的中心在原點(diǎn)可以設(shè)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，已知焦點(diǎn)坐標(biāo)，故可求的c值，所以利用長軸長與短軸長之比和a,b,c的關(guān)系可以建立關(guān)于a,b的兩個(gè)方程式聯(lián)立消元即可求的a,b的值，得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方差.（2）根據(jù)題意設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)，表示,利用點(diǎn)P在橢圓上，得到關(guān)于m和P點(diǎn)橫坐標(biāo)的表達(dá)式，利用二次函數(shù)最值問題，可以得到取得最小值時(shí)，m和P點(diǎn)橫坐標(biāo)之間的關(guān)系，再利用P橫坐標(biāo)的范圍得到m的取值范圍即可.

試題解析：

（1）設(shè)橢圓的方程為. 1分

由題意有：， 3分

解得. 5分

故橢圓的方程為. 6分

（2）設(shè)為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，由于橢圓方程為，故. 7分

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111719051182241536/SYS201411171905188852252702_DA/SYS201411171905188852252702_DA.011.png">，所以

10分

因?yàn)楫?dāng)最小時(shí)，點(diǎn)恰好落在橢圓的右頂點(diǎn)，即當(dāng)時(shí)，

取得最小值．而，

故有，解得． 12分

又點(diǎn)在橢圓的長軸上，即． 13分

故實(shí)數(shù)的取值范圍是． 14分

考點(diǎn)：橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程橢圓幾何性質(zhì)最值