Question

若不等式ax²+bx+c＞0的解集為{x|-1＜x＜2}，則不等式的解集為    ．

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)不等式ax²+bx+c＞0的解集為{x|-1＜x＜2}，得到-1和2為ax²+bx+c=0的兩個(gè)根，且得到a小于0，根據(jù)韋達(dá)定理表示出兩根之和和兩根之積，用a表示出b和c，把表示出的b和c代入所求的不等式中，根據(jù)a小于0，化簡(jiǎn)后得到關(guān)于x的不等式，然后分x大于0和x小于0兩種情況考慮，當(dāng)x小于0時(shí)，根據(jù)負(fù)數(shù)的絕對(duì)值等于它的相反數(shù)化簡(jiǎn)不等式中的絕對(duì)值，在不等式兩邊都乘以負(fù)數(shù)x，得到一個(gè)一元二次不等式，求出不等式的解集與x小于0求出交集即為原不等式的解集；當(dāng)x大于0時(shí)，根據(jù)正數(shù)的絕對(duì)值等于本身化簡(jiǎn)絕對(duì)值，在不等式兩邊都乘以正數(shù)x，得到一個(gè)一元二次不等式，化簡(jiǎn)后得到此不等式無(wú)解，綜上，得到原不等式的解集．
解答：解：由不等式ax²+bx+c＞0的解集為{x|-1＜x＜2}，
得到ax²+bx+c=0的兩解為-1和2，且a＜0，
根據(jù)韋達(dá)定理得：-=-1+2=1，=-2，即b=-a，c=-2a，
則不等式可化為：-2a＞-a|x|，即-2+|x|＜0，
當(dāng)x＜0時(shí)，不等式化為：-2-x＜0，
去分母得：x²+2x-1＜0，即（x+1-）（x+1+）＜0，
解得：-1-＜x＜-1+，
則原不等式的解集為：-1-＜x＜0；
當(dāng)x＞0時(shí)，不等式化為：-2+x＜0，
去分母得：x²-2x+1＜0，即（x-1）²＜0，無(wú)解，
綜上，原不等式的解集為{x|-1-＜x＜0}．
故答案為：{x|-1-＜x＜0}
點(diǎn)評(píng)：此題考查學(xué)生靈活運(yùn)用韋達(dá)定理化簡(jiǎn)求值，考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想，是一道中檔題．