Question

設(shè)對任意實(shí)數(shù)x∈[-1，1]，不等式x²+ax-3a＜0恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A．a(chǎn)＞0
• B．a＞

  1

  2

• C．a(chǎn)＞0或a＜-12
• D．a＞

  1

  4

Answer 1

分析：法一：y=x²+ax-3a的對稱軸是x=-

a

2

．①當(dāng)-

a

2

≥1時(shí)，x=-1時(shí)有最大值a＞

1

4

，與a≤-2相矛盾．②當(dāng)-1＜-

a

2

＜1時(shí)，x=-1或x=1時(shí)，有最大值．x=-1有最大值a＞

1

4

，故

1

4

＜a＜2；當(dāng)x=1有最大值1-2a＜0，a＞

1

2

，故

1

2

＜a＜2．③當(dāng)-

a

2

≤-1，即a≥2時(shí)，x=1時(shí)有最大值1-2a＜0，a＞

1

2

，a≥2．由此能求出實(shí)數(shù)a的范圍．
法二：設(shè)f（x）=x²+ax-3a，由對任意實(shí)數(shù)x∈[-1，1]，不等式x²+ax-3a＜0恒成立，知

f(-1)=1-a-3a＜0 f(1)=1+a-3a＜0

，由此能求出實(shí)數(shù)a的范圍．

解答：解法一：y=x²+ax-3a的對稱軸是x=-

a

2

．
①當(dāng)-

a

2

≥1，即a≤-2時(shí)，x=-1離對稱軸最遠(yuǎn)，而函數(shù)開口向上，所以有最大值，
其最大值是a＞

1

4

，與a≤-2相矛盾．
∴a∈∅；
②當(dāng)-1＜-

a

2

＜1，即-2＜a＜2時(shí)，
x=-1或x=1時(shí)，有最大值．
由①知，x=-1有最大值時(shí)，其最大值是a＞

1

4

，故

1

4

＜a＜2；
當(dāng)x=1有最大值時(shí)，其最大值是1-2a＜0，即a＞

1

2

，故

1

2

＜a＜2．
∴

1

2

＜a＜2；
③當(dāng)-

a

2

≤-1，即a≥2時(shí)，
x=1時(shí)有最大值，
其最大值是1-2a＜0，a＞

1

2

，
∴a≥2．
綜上所述，a＞

1

2

．
故選B．
解法二：設(shè)f（x）=x²+ax-3a，
∵對任意實(shí)數(shù)x∈[-1，1]，不等式x²+ax-3a＜0恒成立，
∴

f(-1)=1-a-3a＜0 f(1)=1+a-3a＜0

，
即

1-4a＜0 1-2a＜0

，
∴

a＞ 1 4 a＞ 1 2

，故a＞

1

2

．
故選B．

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)的恒成立問題，考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．對數(shù)學(xué)思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強(qiáng)，難度大，是高考的重點(diǎn)．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意分類講座思想的合理運(yùn)用．