Question

【題目】已知動圓過定點F（0，1），且與定直線l：y=﹣1相切．
（1）求動圓圓心的軌跡C的方程；
（2）若點A（x0 ， y0）是直線x﹣y﹣4=0上的動點，過點A作曲線C的切線，切點記為M，N．
①求證：直線MN恒過定點；
②△AMN的面積S的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：動圓過定點F（0，1），且與定直線l：y=﹣1相切．

由拋物線的定義可知：動圓圓心的軌跡C是拋物線：可得方程：x2=4y

（2）

①證明：∵x2=4y，∴y′= ，設M（x1，y1），N（x2，y2），

曲線在點M的曲線方程為：y= x﹣y1，在點N處的曲線方程為：y= x﹣y2，

代入點A（x0，y0），可得直線MN的方程：y= ，其中y0=x0﹣4，即x0（x﹣2）+2（4﹣y）=0，

∴直線MN恒過定點P（2，4）．

②解：聯(lián)立 ，化為：x2﹣2x0x+4y0=0，

△= = 0，

∴x1+x2=2x0，x1x2=4x0﹣16．

∴|MN|= = ．

點A到直線MN的距離d= ．

∴S= d|MN|= ，

令t= = +12≥12，

則S≥ =12 ，當且僅當x0=2，y0=﹣2時，取等號．

∴△AMN的面積S的最小值為12

【解析】（1）動圓過定點F（0，1），且與定直線l：y=﹣1相切．由拋物線的定義可知：動圓圓心的軌跡C是拋物線：可得方程．（2）①x2=4y，可得y′= ，設M（x1 ， y1），N（x2 ， y2），曲線在點M的曲線方程為：y= x﹣y1 ， 在點N處的曲線方程為：y= x﹣y2 ， 代入點A（x0 ， y0），可得直線MN的方程：y= ，其中y0=x0﹣4，即x0（x﹣2）+2（4﹣y）=0，即可證明直線MN恒過定點．
②聯(lián)立 ，化為：x2﹣2x0x+4y0=0，利用根與系數(shù)的關系可得|MN|= ．點A到直線MN的距離d= ．利用S= d|MN|，即可得出．