Question

14．在△ABC中，AB=2，BC=3$\sqrt{3}$，∠ABC=30°，AD為BC邊上的高，若$\overrightarrow{AD}=λ\overrightarrow{AB}+μ\overrightarrow{AC}$，則$\frac{λ}{μ}$等于（　�。�

• A． 2
• B． $\frac{1}{2}$
• C． $\frac{2}{3}$
• D． $2\sqrt{3}$

Answer 1

分析 可作出圖形，根據條件便可求出$BD=\sqrt{3}$，從而可得出$\overrightarrow{BD}=\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}=\frac{1}{3}（\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}）$，這樣根據向量加法的幾何意義并進行向量的數乘運算便可以得出$\overrightarrow{AD}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$，從而根據平面向量基本定理便可求出λ，μ的值，從而求出$\frac{λ}{μ}$的值．

解答 解：如圖，

由題意得，$BD=\sqrt{3}$；
∴$BD=\frac{1}{3}BC$；
∴$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}$
=$\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}$
=$\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}（\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}）$
=$\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$；
又$\overrightarrow{AD}=λ\overrightarrow{AB}+μ\overrightarrow{AC}$；
∴$λ=\frac{2}{3}，μ=\frac{1}{3}$；
∴$\frac{λ}{μ}=2$．
故選：A．

點評 考查三角函數的定義，向量加法、減法及數乘的幾何意義，以及向量的數乘運算，平面向量基本定理．