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2.已知首項為1的正項數(shù)列{an}滿足an+12+an252an+1an,n∈N*,Sn為數(shù)列{an}的前n項和.
(1)若a2=32,a3=x,a4=4,求x的取值范圍;
(2)設(shè)數(shù)列{an}是公比為q的等比數(shù)列,若12Sn<Sn+1<2Sn,n∈N*,求q的取值范圍;
(3)若a1,a2,…,ak(k≥3)成等差數(shù)列,且a1+a2+…+ak=120,求正整數(shù)k的最小值,以及k取最小值時相應(yīng)數(shù)列a1,a2,…,ak

分析 (1)首項為1的正項數(shù)列{an}滿足an+12+an252an+1an,n∈N*,化為(2an+1-an)(an+1-2an)<0,解得:12an+1an<2.又a2=32,a3=x,a4=4,代入解出即可得出.
(2)由于首項為1的正項數(shù)列{an},由于12an+1an<2.可得12q2.對q分類討論:q=1時,n=1時不滿足條件,因此q≠1.②由121qn1q1qn+11q<21qn1q,12<q<1時,經(jīng)過驗證成立:12<q<1.2>q>1時,化為2qn+1-qn-1>0,qn+1-2qn+1<0不成立,舍去.
(3)設(shè)首項為1的正項數(shù)列{an}的公差為d,d≥0,由12an+1an<2,化為1+(n-1)d<2(1+nd)<4[1+(n-1)d].分類討論:n=1時,n=2時,n≥3時,可得:0≤d<1.根據(jù)a1,a2,…,ak(k≥3)成等差數(shù)列,a1+a2+…+ak=120,可得k+kk12d=120,k=1時,不成立,舍去.k≥2時,解得d=2402kk2k,代入解得:15<k≤120.即可得出.

解答 解:(1)∵首項為1的正項數(shù)列{an}滿足an+12+an252an+1an,n∈N*,化為(2an+1-an)(an+1-2an)<0,
12an+1an<2.
又a2=32,a3=x,a4=4,
122x32,124x2,
解得:2<x<3.
∴x的取值范圍是(2,3).
(2)由于首項為1的正項數(shù)列{an},
12an+1an<2.∴12q2
①q=1時,n=1時不滿足:12Sn<Sn+1<2Sn,n∈N*,因此q≠1.
②可得121qn1q1qn+11q<21qn1q,
12<q<1時,化為2qn+1-qn<1,qn+1-2qn+1>0,由于qn(2q-1)<1,因此2qn+1-qn<1恒成立;由qn<q,可得q2n<qn+1,∴qnqn+1,∴2qn2qn+1<1+qn+1,因此qn+1-2qn+1>0恒成立,可得:12<q<1.
2>q>1時,化為2qn+1-qn-1>0,qn+1-2qn+1<0,無解,舍去.
綜上可得:12<q<1.
(3)設(shè)首項為1的正項數(shù)列{an}的公差為d,d≥0,
12an+1an<2,可得121+nd1+n1d<2,
化為1+(n-1)d<2(1+nd)<4[1+(n-1)d],
n=1時,0≤d<1;n=2時,d≥0;
n≥3時,d≥0.
綜上可得:0≤d<1.
∵a1,a2,…,ak(k≥3)成等差數(shù)列,a1+a2+…+ak=120,
∴k+kk12d=120,
k=1時,不成立,舍去.
k≥2時,解得d=2402kk2k,
∵0≤d<1.
∴0≤2402kk2k<1.
解得:15<k≤120.
∴滿足條件的正整數(shù)k的最小值為16,此時d=1315
相應(yīng)數(shù)列的通項公式為:an=1+1315(n-1)=13n+215
數(shù)列為:1,2815,…,14.

點評 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式及其前n項和公式、不等式的解法,考查了分類討論方法推理能力與計算能力,屬于中檔題.

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下一年保費倍率85%100%125%150%175%200%
連續(xù)兩年沒出險打7折,連續(xù)三年沒出險打6折
經(jīng)驗表明新車商業(yè)險保費與購車價格有較強的線性關(guān)系,下面是隨機采集的8組數(shù)據(jù)(x,y)(其中x(萬元)表示購車價格,y(元)表示商業(yè)車險保費):(8,2150)、(11,2400)、(18,3140)、(25,3750)、(25,4000)、(31,4560)、(37,5500)、(45,6500),設(shè)由著8組數(shù)據(jù)得到的回歸直線方程為:ˆy=bˆx+1055.
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      ②若該車今年2月份已出過一次險,現(xiàn)在有被刮花了,李先生到汽車維修4S店詢價,預(yù)計修車費用為800元,保險專家建議李先生自費(即不出險),你認為李先生是否應(yīng)該接受建議?說明理由.(假設(shè)車輛下一年與上一年都購買相同的商業(yè)車險產(chǎn)品進行續(xù)保)

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