分析 (1)首項為1的正項數(shù)列{an}滿足an+12+an2<52an+1an,n∈N*,化為(2an+1-an)(an+1-2an)<0,解得:12<an+1an<2.又a2=32,a3=x,a4=4,代入解出即可得出.
(2)由于首項為1的正項數(shù)列{an},由于12<an+1an<2.可得12<q<2.對q分類討論:q=1時,n=1時不滿足條件,因此q≠1.②由12•1−qn1−q<1−qn+11−q<2•1−qn1−q,12<q<1時,經(jīng)過驗證成立:12<q<1.2>q>1時,化為2qn+1-qn-1>0,qn+1-2qn+1<0不成立,舍去.
(3)設(shè)首項為1的正項數(shù)列{an}的公差為d,d≥0,由12<an+1an<2,化為1+(n-1)d<2(1+nd)<4[1+(n-1)d].分類討論:n=1時,n=2時,n≥3時,可得:0≤d<1.根據(jù)a1,a2,…,ak(k≥3)成等差數(shù)列,a1+a2+…+ak=120,可得k+k(k−1)2d=120,k=1時,不成立,舍去.k≥2時,解得d=240−2kk2−k,代入解得:15<k≤120.即可得出.
解答 解:(1)∵首項為1的正項數(shù)列{an}滿足an+12+an2<52an+1an,n∈N*,化為(2an+1-an)(an+1-2an)<0,
∴12<an+1an<2.
又a2=32,a3=x,a4=4,
∴12<2x3<2,12<4x<2,
解得:2<x<3.
∴x的取值范圍是(2,3).
(2)由于首項為1的正項數(shù)列{an},
∵12<an+1an<2.∴12<q<2.
①q=1時,n=1時不滿足:12Sn<Sn+1<2Sn,n∈N*,因此q≠1.
②可得12•1−qn1−q<1−qn+11−q<2•1−qn1−q,
12<q<1時,化為2qn+1-qn<1,qn+1-2qn+1>0,由于qn(2q-1)<1,因此2qn+1-qn<1恒成立;由qn<q,可得q2n<qn+1,∴qn<√qn+1,∴2qn<2√qn+1<1+qn+1,因此qn+1-2qn+1>0恒成立,可得:12<q<1.
2>q>1時,化為2qn+1-qn-1>0,qn+1-2qn+1<0,無解,舍去.
綜上可得:12<q<1.
(3)設(shè)首項為1的正項數(shù)列{an}的公差為d,d≥0,
由12<an+1an<2,可得12<1+nd1+(n−1)d<2,
化為1+(n-1)d<2(1+nd)<4[1+(n-1)d],
n=1時,0≤d<1;n=2時,d≥0;
n≥3時,d≥0.
綜上可得:0≤d<1.
∵a1,a2,…,ak(k≥3)成等差數(shù)列,a1+a2+…+ak=120,
∴k+k(k−1)2d=120,
k=1時,不成立,舍去.
k≥2時,解得d=240−2kk2−k,
∵0≤d<1.
∴0≤240−2kk2−k<1.
解得:15<k≤120.
∴滿足條件的正整數(shù)k的最小值為16,此時d=1315,
相應(yīng)數(shù)列的通項公式為:an=1+1315(n-1)=13n+215.
數(shù)列為:1,2815,…,14.
點評 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式及其前n項和公式、不等式的解法,考查了分類討論方法推理能力與計算能力,屬于中檔題.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | 12 | B. | 49128 | C. | 81128 | D. | 125128 |
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
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