Question

設(shè)函數(shù)f（x）=a（x+1）²ln（x+1）+bx，曲線y=f（x）過點(diǎn)（e-1，e²-e+1），且在點(diǎn)（0，0）處的切線方程為y=0．
（1）求a，b的值；
（2）證明：當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）≥x²．

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）由曲線y=f（x）過點(diǎn)（e-1，e²-e+1），代入可得ae²+b（e-1）=e²-e+1．f′（x）=2a（x+1）ln（x+1）+a（x+1）+b，由在點(diǎn)（0，0）處的切線方程為y=0．可得a+b=0，聯(lián)立解出即可．
（2）由（1）可得：f（x）=（x+1）²ln（x+1）-x．當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）≥x²．即g（x）=（x+1）²ln（x+1）-x-x²≥0．x≥0．利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性極值與最值即可．

解答： （1）解：∵曲線y=f（x）過點(diǎn)（e-1，e²-e+1），∴ae²+b（e-1）=e²-e+1．
f′（x）=2a（x+1）ln（x+1）+a（x+1）+b，
∵在點(diǎn)（0，0）處的切線方程為y=0．
∴a+b=0，
聯(lián)立

a+b=0 ae2+b(e-1)=e2-e+1

，
解得a=1，b=-1．
（2）證明：由（1）可得：f（x）=（x+1）²ln（x+1）-x．當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）≥x²．即g（x）=（x+1）²ln（x+1）-x-x²≥0．x≥0．
g′（x）=2（x+1）（ln（x+1）-

1

2

），
當(dāng)x＞

e

-1時(shí)，g′（x）＞0，此時(shí)函數(shù)g（x）單調(diào)遞增；當(dāng)0＜x＜

e

-1時(shí)，g′（x）＞0，此時(shí)函數(shù)g（x）單調(diào)遞減．
∴當(dāng)x=

e

-1時(shí)，g（x）取得極小值即最小值，g(

e

-1)=

1

2

e-(

e

-1)-(e+1-2

e

)=

e

-

1

2

e＞0，
∴g（x）＞0，
∴當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）≥x²．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性極值與最值、導(dǎo)數(shù)幾何意義、切線方程，考查了恒成立問題的等價(jià)轉(zhuǎn)化方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．