Question

10．已知函數(shù)f（x）=mlnx（m∈R）．
（1）若函數(shù)y=f（x）+x的最小值為0，求m的值；
（2）設(shè)函數(shù)g（x）=f（x）+mx²+（m²+2）x，試求g（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）函數(shù)整理為y=mlnx+x，求導(dǎo)，由題意可知，函數(shù)的最小值應(yīng)在極值點(diǎn)處取得，令f'（x）=$\frac{m}{x}$+1=0，代入求解即可；
（2）函數(shù)整理為g（x）=mlnx+mx²+（m²+2）x，求導(dǎo)得g'（x）=$\frac{（mx+1）（2x+m）}{x}$，對(duì)參數(shù)m進(jìn)行分類討論，逐一求出單調(diào)區(qū)間．

解答 解：（1）y=f（x）+x
=mlnx+x，
f'（x）=$\frac{m}{x}$+1=0，
∴m=-x₀，
∵函數(shù)y=f（x）+x的最小值為0，
∴-x₀lnx₀+x₀=0，
∴m=x₀=$\frac{1}{e}$；
（2）g（x）=f（x）+mx²+（m²+2）x
=mlnx+mx²+（m²+2）x，
∴g'（x）=$\frac{（mx+1）（2x+m）}{x}$，
當(dāng)m=0時(shí)，g（x）=2x，定義域內(nèi)遞增；
當(dāng)m≠0時(shí)，
令g'（x）=0，
∴x=-$\frac{1}{m}$或x=-$\frac{m}{2}$
當(dāng)m＞0時(shí)，g'（x）＞0，g（x）定義域內(nèi)遞增；
當(dāng)m＜0時(shí)，
 當(dāng)m＞-$\sqrt{2}$時(shí)，函數(shù)的增區(qū)間為（0，-$\frac{m}{2}$）u（-$\frac{1}{m}$，+∞），減區(qū)間為（-$\frac{m}{2}$，-$\frac{1}{m}$）；
 當(dāng)m＜-$\sqrt{2}$時(shí)，函數(shù)的增區(qū)間為（0，-$\frac{1}{m}$）u（-$\frac{m}{2}$，+∞），減區(qū)間為（-$\frac{1}{m}$，-$\frac{m}{2}$）；
當(dāng)m=-$\sqrt{2}$時(shí)，定義域內(nèi)遞增．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用導(dǎo)函數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性問題，難點(diǎn)是對(duì)導(dǎo)函數(shù)中參數(shù)的討論問題．