Question

19．記橢圓$\frac{x^2}{9}$+$\frac{y^2}{8}$=1的離心率為e，長半軸長為a，則函數(shù)f（x）=ex³-4x²-a²x+1在點（x₀，f（x₀））處的切線斜率取得最小時x₀的值為（　　）

• A． -4
• B． -1
• C． 1
• D． 4

Answer 1

分析 由橢圓的性質(zhì)求得a和e的值，代入函數(shù)f（x），求導(dǎo)，根據(jù)切線斜率的幾何意義，求得k取最小值時，x₀的取值．

解答 解：橢圓$\frac{x^2}{9}$+$\frac{y^2}{8}$=1，長半軸長a=3，短半軸長b=2$\sqrt{2}$，半焦距c=1，離心率為e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{3}$，
函數(shù)f（x）=ex³-4x²-a²x+1=$\frac{1}{3}$x³-4x²-9x+1，
f′（x）=x²-8x-9，
由函數(shù)切線斜率的幾何意義，k=x²-8x-9，
設(shè)g（x）=x²-8x-9，由二次函數(shù)的性質(zhì)可知當x=-$\frac{2a}$=4時，g（x）取最小值，
故k的最小值時，x₀=4，
故答案選：D．

點評 本題考查橢圓的幾何性質(zhì)與導(dǎo)數(shù)運算相結(jié)合，考查切線方程斜率的意義及二次函數(shù)的性質(zhì)，考查分析問題和解決問題得能力，屬于中檔題．