Question

4．過拋物線C：y²=2px（p＞0）的焦點F的直線交拋物線于A，B兩點，且線段AB的最小長度為4．
（Ⅰ）求拋物線C的方程；
（Ⅱ）已知點D的坐標(biāo)為（4，0），若過D和B兩點的直線交拋物線C的準(zhǔn)線于P點，證明直線AP與x軸交于一定點并求出該定點坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意2p=4，求出p，即可求拋物線C的方程；
（Ⅱ）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），設(shè)直線AB的方程為x=my+1，聯(lián)立方程組，表示出直線BD的方程，與拋物線C的準(zhǔn)線方程構(gòu)成方程組，解得P的坐標(biāo)，求出直線AP的斜率，得到直線AP的方程，求出交點坐標(biāo)即可．

解答 解：（Ⅰ）由題意2p=4，∴p=2，
∴拋物線C的方程為y²=4x；
（Ⅱ）證明：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
設(shè)直線AB的方程為x=my+1
與拋物線的方程聯(lián)立，得y²-4my-4=0，
∴y₁•y₂=-4，
依題意，直線BD與x軸不垂直，∴x₂=4．
∴直線BD的方程可表示為，y=$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-4}$（x-4）①
∵拋物線C的準(zhǔn)線方程為，x=-1②
由①，②聯(lián)立方程組可求得P的坐標(biāo)為（-1，-$\frac{5{y}_{2}}{{x}_{2}-4}$）
∴P的坐標(biāo)可化為（-1，$\frac{5{y}_{1}}{1-{{y}_{1}}^{2}}$），
∴k_AP=$\frac{4{y}_{1}}{{{y}_{1}}^{2}-1}$，
∴直線AP的方程為y-y₁=$\frac{4{y}_{1}}{{{y}_{1}}^{2}-1}$（x-x₁），
令y=0，可得x=x₁-$\frac{{{y}_{1}}^{2}-1}{4}$=$\frac{1}{4}$
∴直線AP與x軸交于定點（$\frac{1}{4}$，0）．

點評 本題考查拋物線的方程，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查直線過定點，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．