Question

橢圓C的中心為坐標原點O，焦點在y軸上，離心率e=

2

2

，橢圓上的點到焦點的最短距離為1-

2

2

，直線l與y軸交于點P（0，m），與橢圓C交于相異兩點A、B，且

AP

=λ

PB

．
（1）求橢圓方程；
（2）若

OA

+λ

OB

=4

OP

，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）設C：

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0），由條件知a-c=

2

2

，

c

a

=

2

2

，由此能導出C的方程．
（2）由

AP

=λ

PB

，

OA

+λ

OB

=4

OP

，知λ=3或O點與P點重合．當O點與P點重合時，m=0．當λ=3時，直線l與y軸相交，設l與橢圓C交點為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），

y=kx+m 2x2+y2=1

得（k²+2）x²+2kmx+（m²-1）=0，再由根的判別式和韋達定理進行求解．

解答：解：（1）設C：

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0），設c＞0，c²=a²-b²，由條件知a-c=

2

2

，

c

a

=

2

2

，
∴a=1，b=c=

2

2

，故C的方程為：y²+

x2

1 2

=1．
（2）由

AP

=λ

PB

，

OA

+λ

OB

=4

OP

∴λ+1=4，λ=3或O點與P點重合，
當O點與P點重合時，m=0
當λ=3時，直線l與y軸相交，則斜率存在．
設l與橢圓C交點為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）

y=kx+m 2x2+y2=1

得（k²+2）x²+2kmx+（m²-1）=0
△=（2km）²-4（k²+2）（m²-1）=4（k²-2m²+2）＞0 （*）
x₁+x₂=

-2km

k2+2

，x₁x₂=

m2-1

k2+2

　                         
∵

AP

=3，
∴-x₁=3x₂
∴

x1+x2=-2x2 x1x2=-3x22

，
消去x₂，得3（x₁+x₂）²+4x₁x₂=0，
∴3（

-2km

k2+2

）²+4

m2-1

k2+2

=0
整理得4k²m²+2m²-k²-2=0　                         
m²=

1

4

時，上式不成立；
m²≠

1

4

時，k²=

2-2m2

4m2-1

，
因λ=3，∴k≠0，∴k²=

2-2m2

4m2-1

＞0，
∴-1＜m＜-

1

2

 或 

1

2

＜m＜1
容易驗證k²＞2m²-2成立，所以（*）成立
即所求m的取值范圍為（-1，-

1

2

）∪（

1

2

，1）∪{0}

點評：本題考查橢圓方程的求法和求m的取值范圍．解題時要認真審題，注意挖掘題設中的隱含條件，靈活運用橢圓的性質(zhì)，合理地進行等價轉(zhuǎn)化．