Question

17．已知等比數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)為$\frac{4}{3}$，公比為-$\frac{1}{3}$，其前n項(xiàng)和為S_n，若N≤3S_n-$\frac{2}{S_n}≤{M}$對(duì)n∈N^*恒成立，則M-N的最小值為$\frac{25}{12}$．

Answer 1

分析 先利用等比數(shù)列的求和公式求出S_n，求出S_n的范圍，確定3S_n-$\frac{2}{{S}_{n}}$，求出最小值、最大值，即可求出M-N的最小值．

解答 解：∵等比數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)為$\frac{4}{3}$，公比為-$\frac{1}{3}$，
∴S_n=$\frac{\frac{4}{3}（1-（-\frac{1}{3}）^{n}）}{1+\frac{1}{3}}$=1-（-$\frac{1}{3}$）ⁿ，
令t=（-$\frac{1}{3}$）ⁿ，則-$\frac{1}{3}$≤t≤$\frac{1}{9}$，S_n=1-t，
∴$\frac{8}{9}$≤S_n≤$\frac{4}{3}$
∵3S_n-$\frac{2}{{S}_{n}}$的最小值為$\frac{5}{12}$，最大值為$\frac{5}{2}$，
∴對(duì)任意n∈N^*恒成立，則M-N的最小值$\frac{5}{2}$-$\frac{5}{12}$=$\frac{25}{12}$，
故答案為：$\frac{25}{12}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查等比數(shù)列的求和公式，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．