Question

在直角坐標系xOy中，曲線C₁的點均在圓C₂：x²+（y-5）²=9外，且對C₁上任意一點M，M到直線y=-2的距離等于該點與圓C₂上點的距離的最小值．
（Ⅰ）求曲線C₁的方程；
（Ⅱ）設P為直線y=-4上的一點，過P作圓C₂的兩條切線，分別與曲線C₁相交于點A，B和C，D，證明：四點A，B，C，D的橫坐標之積為定值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）設點M（x，y），由已知條件推導出

x2+(y-5)2

=y+5，由此能求出曲線C₁的方程．
（Ⅱ）當點P在直線y=-4上運動時，設P（x₀，-4），切線方程為kx-y-kx₀-4=0，所以(x02-9)k2+18x0k+72=0，設過P所作的兩條切線PA，PC的斜率分別為k₁，k₂，則k1+k2=-

18x0

x02-9

，k1k2=-

72

x02-9

，由

k1x-y-k1x0-4=0 x2=20y

，得x²-20k₁x+20（k₁x₀+4）=0，設四點A、B、C、D的橫向聯(lián)合坐標分別是x₁，x₂，x₃，x₄，則x₁x₂=20（k₁x₀+4），x₃x₄=20（k₂x₀+4），由此能證明四點A，B，C，D的橫坐標之積為定值．

解答： 解：（Ⅰ）設點M（x，y），
由已知得|y+2|=

x2+(y-5)2

-3，
且圓C₂上的點位于直線y=-2的上方，
于是y+2＞0，
∴

x2+(y-5)2

=y+5，
化簡得曲線C₁的方程為：x²=20y．
（Ⅱ）證明：當點P在直線y=-4上運動時，設P（x₀，-4），
由題意知x₀≠±3，過P且于圓C₂相切的直線的斜率存在，
每條切線都與拋物線有兩個交點，
切線方程為y+4=k（x-x₀），即kx-y-kx₀-4=0，
∴

|-5-kx0-4|

k2+1

=3，
整理，得(x02-9)k2+18x0k+72=0，①
設過P所作的兩條切線PA，PC的斜率分別為k₁，k₂，
則k₁，k₂是方程①的兩個實根，
∴k1+k2=-

18x0

x02-9

，k1k2=-

72

x02-9

，②
由

k1x-y-k1x0-4=0 x2=20y

，得x²-20k₁x+20（k₁x₀+4）=0，③
設四點A、B、C、D的橫向聯(lián)合坐標分別是x₁，x₂，x₃，x₄，
則x₁，x₂是方程③的兩個實根，
∴x₁x₂=20（k₁x₀+4），④
同理，x₃x₄=20（k₂x₀+4），⑤
由②④⑤三式得：
x₁x₂x₃x₄=400（k₁x₀+4）（k₂x₀+4）
=400[k1k2x02+4x0(k1+k2)+16]
=400（

72x02

x02-9

-4x0•

18x0

x02-9

+16）
=400×16=6400．
∴當點P在直線y=-4上運動時，四點A、B、C、D的橫坐標之積為定值6400．

點評：本題考查曲線方程的求法，考查四點的橫坐標之積為定值的證明，解題時要認真審題，注意直線方程、韋達定理等知識點的合理運用．