分析:(I)根據(jù)極值點(diǎn)的信息,我們要用導(dǎo)數(shù)法,所以先求導(dǎo)
f′(x)=+3x2-2x-a,則
x=為f(x)的極值點(diǎn),則有
f′()=0從而求得結(jié)果.
(II)由f(x)在[1,+∞)上為增函數(shù),則有f′(x)≥0,x∈[1,+∞)上恒成立求解.
(III)將a=-1代入,方程
f(1-x)-(1-x)3=,可轉(zhuǎn)化為b=xlnx+x
2-x
3,x>0上有解,只要求得函數(shù)g(x)=xlnx+x
2-x
3的值域即可.
解答:解:(I)
f′(x)=+3x2-2x-a=
x[3ax2+(3-2a)x-(a2+2)] |
ax+1 |
∵
x=為f(x)的極值點(diǎn),∴
f′()=0,
∴
3a()2+(3-2a)-(a2+2)=0且a+1≠0,解得a=0
又當(dāng)a=0時(shí),f'(x)=x(3x-2),從而
x=為f(x)的極值點(diǎn)成立.
(II)因?yàn)閒(x)在[1,+∞)上為增函數(shù),
所以
x[3ax2+(3-2a)x-(a2+2)] |
ax+1 |
≥0在[1,+∞)上恒成立.(6分)
若a=0,則f'(x)=x(3x-2),此時(shí)f(x)在[1,+∞)上為增函數(shù)成立,故a=0符合題意
若a≠0,由ax+1>0對(duì)x>1恒成立知a>0.
所以3ax
2+(3-2a)x-(a
2+2)≥0對(duì)x∈[1,+∞)上恒成立.
令g(x)=3ax
2+(3-2a)x-(a
2+2),其對(duì)稱(chēng)軸為
x=-,
因?yàn)?span id="zjbbbpt" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">a>0,所以
-
<
,從而g(x)在[1,+∞)上為增函數(shù).
所以只要g(1)≥0即可,即-a
2+a+1≥0成立
解得
≤a≤又因?yàn)?span dealflag="1" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">a>0,所以0<a≤
.(10分)
綜上可得
0≤a≤即為所求
(III)若a=-1時(shí),方程
f(1-x)-(1-x)3=可得
lnx-(1-x)2+(1-x)=即b=xlnx-x(1-x)
2+x(1-x)=xlnx+x
2-x
3在x>0上有解
即求函數(shù)g(x)=xlnx+x
2-x
3的值域.
法一:b=x(lnx+x-x
2)令h(x)=lnx+x-x
2由
h′(x)=+1-2x=∵x>0∴當(dāng)0<x<1時(shí),h'(x)>0,
從而h(x)在(0,1)上為增函數(shù);
當(dāng)x>1時(shí),h'(x)<0,從而h(x)在(1,+∞)上為減函數(shù).
∴h(x)≤h(1)=0,而h(x)可以無(wú)窮。郻的取值范圍為(-∞,0](15分)
法二:g'(x)=lnx+1+2x-3x
2g″(x)=+2-6x=-x當(dāng)
0<x<時(shí),g″(x)>0,所以
g′(x)在0<x<上遞增;
當(dāng)
x>時(shí),g″(x)<0,所以
g′(x)在c>上遞減;
又g'(1)=0,∴
令g′(x0)=0,0<x0<∴當(dāng)0<x<x
0時(shí),g'(x)<0,
所以g(x)在0<x<x
0上遞減;當(dāng)x
0<x<1時(shí),g'(x)>0,
所以g(x)在x
0<x<1上遞增;當(dāng)x>0時(shí),g(x)<0,所以g(x)在x>1上遞減;
又當(dāng)x→+∞時(shí),g(x)→-∞,
g(x)=xlnx+x2-x3=x(lnx+x-x2)≤x(lnx+)當(dāng)x→0時(shí),
lnx+<0,則g(x)<0,且g(1)=0所以b的取值范圍為(-∞,0]