在平面直角坐標系xOy中,已知圓C經(jīng)過A(2,-2),B(1,1)兩點,且圓心在直線x-2y-2=0上.
(1)求圓C的標準方程;
(2)設(shè)直線l與圓C相交于P,Q兩點,坐標原點O到直線l的距離為
1
5
,且△POQ的面積為
2
5
,求直線l的方程.
考點:直線和圓的方程的應用
專題:綜合題,直線與圓
分析:(1)求出線段AB的垂直平分線的方程,與直線x-2y-2=0聯(lián)立,求得圓心坐標,再求出圓的半徑,即可求圓C的標準方程;
(2)求出PQ=4,分類討論,利用坐標原點O到直線l的距離為
1
5
,即可求直線l的方程.
解答: 解:(1)因為A(2,-2),B(1,1),所以kAB=-3,AB的中點為(
3
2
,-
1
2
)

故線段AB的垂直平分線的方程為y+
1
2
=
1
3
(x-
3
2
)
,即x-3y-3=0,
x-3y-3=0
x-2y-2=0
,解得圓心坐標為(0,-1).…(4分)
所以半徑r滿足r2=12+(-1-1)2=5.…(6分)
故圓C的標準方程為x2+(y+1)2=5.…(7分)
(2)因為S△OPQ=
1
2
×PQ×
1
5
=
2
5
,所以PQ=4.
①當直線l與x軸垂直時,由坐標原點O到直線l的距離為
1
5
知,直線l的方程為x=
1
5

x=-
1
5
,經(jīng)驗證,此時PQ≠4,不適合題意;            …(9分)
②當直線l與x軸不垂直時,設(shè)直線l的方程為y=kx+b,
由坐標原點到直線l的距離為d1=
|b|
k2+1
=
1
5
,得k2+1=25b2(*),…(11分)
又圓心到直線l的距離為d2=
|1+b|
k2+1
,所以PQ=2
5-d22
=2
5-
(1+b)2
k2+1
=4
,
即(1+b)2=k2+1(**),…(13分)
由(*),(**)解得
k=±
3
4
b=
1
4

綜上所述,直線l的方程為3x+4y-1=0或3x-4y+1=0.…(14分)
點評:本題考查直線和圓的方程的應用,考查點到直線的距離公式,考查分類討論的數(shù)學思想,考查學生分析解決問題的能力,屬于中檔題.
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1
2
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1
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2
比(
a+b
2
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1
2
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2
3
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cos
6
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