Question

15．已知雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1的離心率為$\frac{\sqrt{5}}{2}$，過右焦點(diǎn)F作漸近線的垂線，垂足為A，若△OFA的面積為2，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則雙曲線的焦距為（　�。�

• A． 2$\sqrt{3}$
• B． 2$\sqrt{5}$
• C． 2$\sqrt{10}$
• D． 2$\sqrt{15}$

Answer 1

分析 運(yùn)用離心率公式，求得漸近線方程，運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離公式可得F到漸近線的距離為b，由勾股定理可得|OA|=a，運(yùn)用三角形的面積公式，結(jié)合a，b，c的關(guān)系，解得c，即可得到焦距為2c的值．

解答 解：由題意可得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
設(shè)F（c，0），漸近線為y=$\frac{a}$x，
可得F到漸近線的距離為d=$\frac{|bc|}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$=b，
由勾股定理可得|OA|=$\sqrt{|OF{|}^{2}-|AF{|}^{2}}$=$\sqrt{{c}^{2}-^{2}}$=a，
由題意可得$\frac{1}{2}$ab=2，
又a²+b²=c²，解得c=$\sqrt{10}$，
可得雙曲線的焦距為2$\sqrt{10}$．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的焦距的求法，注意運(yùn)用漸近線方程和點(diǎn)到直線的距離公式，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．