Question

3．已知函數(shù)f（x）=lnx-2x³與g（x）=2x³-ax，若f（x）的圖象上存在點(diǎn)A滿足它關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)B落在g（x）的圖象上，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是a≤$\frac{1}{e}$．

Answer 1

分析 由題意可知f（x）=g（-x）有解，即y=lnx與y=ax有交點(diǎn)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求出切點(diǎn)，結(jié)合圖象，可知a的范圍．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=lnx-2x3與g（x）=2x3-ax，
若f（x）的圖象上存在點(diǎn)A滿足它關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)B落在g（x）的圖象上，
∴f（x）=g（-x）有解，
∴l(xiāng)nx-2x³=-2x³+ax，
∴l(xiāng)nx=ax在（0，+∞）有解，
分別設(shè)y=lnx，y=ax，
若y=ax為y=lnx的切線，
∴y′=$\frac{1}{x}$，
設(shè)切點(diǎn)為（x₀，y₀），
∴a=$\frac{1}{{x}_{0}}$，ax₀=lnx₀，
∴x₀=e，
∴a=$\frac{1}{e}$，
結(jié)合圖象可知，a≤$\frac{1}{e}$
故答案為：a≤$\frac{1}{e}$

點(diǎn)評 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)的切線方程，以及函數(shù)值的問題，關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為y=lnx與y=ax有交點(diǎn)，屬于中檔題．